Concavidade e convexidade. ( \mathbf{2}, \mathbf{2} pontos) Determine os intervalos de concavidade e convexidade de f(x)=3 x^{2} e^{-x}+2. Determine (se houver) os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=3x^{2}e^{-x}+2\, e pede duas coisas:\n
  1. Determinar os intervalos onde f é côncava e onde é convexa (ou seja, concavidade para baixo e para cima).\n
  2. Determinar, se existirem, os pontos de inflexão (valores de x onde a concavidade muda e, portanto, f''(x)=0 ou não está definida).\n
    Informações relevantes dadas: a função é definida para todo x\in\mathbb{R} (porque e^{-x} é sempre definida). Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressa):\n
  • A concavidade de uma função é detectada pela segunda derivada. A regra prática que usamos em provas é:\n
    • Se \,f''(x)>0\, em um intervalo, então f é convexa (curva para cima) nesse intervalo.\n
    • Se \,f''(x)<0\, em um intervalo, então f é côncava (curva para baixo) nesse intervalo.\n
    • Um ponto de inflexão é um ponto onde f''(x)=0 ou f'' não existe, e a sinal de f'' muda de um lado para o outro.\n
  • Na prática para funções com e^{-x} e polinômios multiplicando, a segunda derivada normalmente se factoriza em um fator positivo ( e^{-x}) vezes um polinômio. Então a mudança de sinal vem do polinômio; esse é o truque que vamos usar.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \,f'(x)\, de forma bem marcada (uso da regra do produto):\n
Começamos com \,f(x)=3x^{2}e^{-x}+2\,. A constante 2 some na derivada. Para 3x^{2}e^{-x} usamos a regra do produto: se u(x)=3x^{2} e v(x)=e^{-x}, então (uv)'=u'v+uv'.\n
  • u'(x)=3\cdot 2x = 6x.\n
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x} (regra da cadeia: derivada de -x é -1).\n
    Aplicando a regra do produto:\n
f'(x)=6x\cdot e^{-x} + 3x^{2}\cdot(-e^{-x}).
Fatorando 3e^{-x} e simplificando:
f'(x)=3e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr).
Ou, reescrevendo de forma ainda mais clara (fator comum x):
f'(x)=3x(2-x)e^{-x}.
Isso é útil para entender monotonia, mas aqui só precisava para chegar em f''.

Passo 4

Calcular a segunda derivada \,f''(x)\, com cuidado e explicando cada passo:\n
Temos \,f'(x)=3e^{-x}h(x)\, com h(x)=2x-x^{2}=x(2-x). Vou derivar usando novamente a regra do produto para 3e^{-x} e h(x), ou usar o atalho: (e^{-x}h(x))' = e^{-x}(h'(x)-h(x)) porque (e^{-x})' = -e^{-x}. Vou mostrar o desenvolvimento completo:\n
f''(x)=3\bigl( (e^{-x})' h(x) + e^{-x} h'(x)\bigr) =3\bigl(-e^{-x}h(x) + e^{-x}h'(x)\bigr) =3e^{-x}\bigl(h'(x)-h(x)\bigr).
Agora calculamos h'(x). Como h(x)=2x-x^{2} temos
h'(x)=2-2x.
Então
h'(x)-h(x)=(2-2x)-(2x-x^{2})=2-2x-2x+x^{2}=x^{2}-4x+2.
Portanto a segunda derivada simplificada é
f''(x)=3e^{-x}\bigl(x^{2}-4x+2\bigr).
Comentário didático: note que 3e^{-x}>0 para todo x, então o sinal de f''(x) é exatamente o sinal do polinômio \,x^{2}-4x+2.

Passo 5

Analisar onde \,f''(x)=0\, e o sinal de \,f''(x)\, (isso nos dá concavidade/convexidade e pontos de inflexão):\n
Primeiro resolvemos \,f''(x)=0. Como 3e^{-x}\neq 0, basta resolver
x^{2}-4x+2=0.
Usamos a fórmula quadrática: as raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}.
Portanto os pontos onde f''(x)=0 são x=2-\sqrt{2} e x=2+\sqrt{2}.\n
Agora o sinal de \,x^{2}-4x+2\,: é um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo ( 1), logo a parábola abre para cima. Assim o polinômio é positivo fora das raízes e negativo entre as raízes. Como 3e^{-x}>0, concluímos:\n
  • \,f''(x)>0\, (função convexa, concavidade para cima) para x\in(-\infty,\,2-\sqrt{2})\cup(2+\sqrt{2},\,\infty).\n
  • \,f''(x)<0\, (função côncava, concavidade para baixo) para x\in(2-\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}).\n
    Para dar uma intuição numérica rápida (opcional): 2-\sqrt{2}\approx 0{,}586 e 2+\sqrt{2}\approx 3{,}414.\n
    Como f'' muda de sinal passando por x=2\pm\sqrt{2}, esses dois valores de x são pontos de inflexão. Para dar os pontos completos no plano (x,f(x)), calculamos f nesses x:\n
f\bigl(2\pm\sqrt{2}\bigr)=3\bigl(2\pm\sqrt{2}\bigr)^{2}e^{-(2\pm\sqrt{2})}+2.
Podemos simplificar o quadrado:
\bigl(2\pm\sqrt{2}\bigr)^{2}=6\pm 4\sqrt{2},
logo
f\bigl(2\pm\sqrt{2}\bigr)=3(6\pm 4\sqrt{2})e^{-(2\pm\sqrt{2})}+2.
Esses são os pontos de inflexão (as coordenadas exatas). Se preferir valores aproximados, basta avaliar numericamente.

Resposta

Função convexa (concavidade para cima) em (-\infty,\,2-\sqrt{2})\cup(2+\sqrt{2},\,\infty).\n
Função côncava (concavidade para baixo) em (2-\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}).\n
Pontos de inflexão em x=2-\sqrt{2} e x=2+\sqrt{2}, isto é, nos pontos
\bigl(2\pm\sqrt{2},\;3(6\pm4\sqrt{2})e^{-(2\pm\sqrt{2})}+2\bigr).

Exercícios relacionados