Concavidade e convexidade. (
pontos) Determine os intervalos de concavidade e convexidade de
. Determine (se houver) os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:\n
- Determinar os intervalos onde
é côncava e onde é convexa (ou seja, concavidade para baixo e para cima).\n - Determinar, se existirem, os pontos de inflexão (valores de
onde a concavidade muda e, portanto, ou não está definida).\n
Informações relevantes dadas: a função é definida para todo(porque é sempre definida). Não há mais dados ocultos.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressa):\n
- A concavidade de uma função é detectada pela segunda derivada. A regra prática que usamos em provas é:\n
- Se
em um intervalo, então é convexa (curva para cima) nesse intervalo.\n - Se
em um intervalo, então é côncava (curva para baixo) nesse intervalo.\n - Um ponto de inflexão é um ponto onde
ou não existe, e a sinal de muda de um lado para o outro.\n
- Se
- Na prática para funções com
e polinômios multiplicando, a segunda derivada normalmente se factoriza em um fator positivo ( ) vezes um polinômio. Então a mudança de sinal vem do polinômio; esse é o truque que vamos usar.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
de forma bem marcada (uso da regra do produto):\n
Começamos com . A constante
some na derivada. Para
usamos a regra do produto: se
e
, então
.\n
Começamos com
-
.\n -
(regra da cadeia: derivada de é ).\n
Aplicando a regra do produto:\n
Fatorando
e simplificando:
Ou, reescrevendo de forma ainda mais clara (fator comum
):
Isso é útil para entender monotonia, mas aqui só precisava para chegar em
.
Passo 4
Calcular a segunda derivada
com cuidado e explicando cada passo:\n
Temos com
. Vou derivar usando novamente a regra do produto para
e
, ou usar o atalho:
porque
. Vou mostrar o desenvolvimento completo:\n
Temos
Agora calculamos
. Como
temos
Então
Portanto a segunda derivada simplificada é
Comentário didático: note que
para todo
, então o sinal de
é exatamente o sinal do polinômio
.
Passo 5
Analisar onde
e o sinal de
(isso nos dá concavidade/convexidade e pontos de inflexão):\n
Primeiro resolvemos . Como
, basta resolver
Primeiro resolvemos
Usamos a fórmula quadrática: as raízes são
Portanto os pontos onde
são
e
.\n
Agora o sinal de : é um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo (
), logo a parábola abre para cima. Assim o polinômio é positivo fora das raízes e negativo entre as raízes. Como
, concluímos:\n
Agora o sinal de
-
(função convexa, concavidade para cima) para .\n -
(função côncava, concavidade para baixo) para .\n
Para dar uma intuição numérica rápida (opcional):e .\n
Comomuda de sinal passando por , esses dois valores de são pontos de inflexão. Para dar os pontos completos no plano , calculamos nesses :\n
Podemos simplificar o quadrado:
logo
Esses são os pontos de inflexão (as coordenadas exatas). Se preferir valores aproximados, basta avaliar numericamente.
Resposta
Função convexa (concavidade para cima) em
.\n
Função côncava (concavidade para baixo) em .\n
Pontos de inflexão em e
, isto é, nos pontos
Função côncava (concavidade para baixo) em
Pontos de inflexão em