Assíntotas. (
pontos) Determine as assíntotas da função
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as assíntotas da função
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio natural é todos os
tais que (porque aparece no expoente). - Precisamos encontrar todas as assíntotas possíveis: verticais, horizontais ou oblíquas (se existirem).
Passo 2
Vamos começar verificando possíveis assíntotas verticais. Definição prática: uma reta vertical
é assíntota vertical se pelo menos uma das únicas limites laterais
ou
é
. Como
não está definida em
, testamos
e
.
Passo 3
Cálculo do limite pela direita
. Quando
temos
, logo
e
Também
. Portanto o produto tende a
Concluímos que pela direita não há explosão infinita, o limite é finito (igual a
).
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda
. Quando
temos
, então
e
Como
não se anula, o produto diverge para
:
Pelo critério do Passo 2, como uma das limites laterais é
, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Agora investigamos assíntotas no infinito (horizontais ou oblíquas). Estratégia prática para procurar uma assíntota oblíqua do tipo
: primeiro calculamos
se esse limite existir finito então tentamos
Se ambos existirem e
, então
é assíntota oblíqua (possivelmente válida para
,
ou ambos).
Passo 6
Cálculo de
para
. Temos
Quando
temos
e
, então
. Logo
Portanto a inclinação candidata é
.
Passo 7
Cálculo do termo independente
para
. Escrevemos
Rearranjando:
Sabemos que
quando
, então
. Resta calcular
Fazemos a substituição
(assim
quando
). Então
Usamos o desenvolvimento de
perto de
:
, então
. Portanto
Somando as partes:
Portanto para
a reta candidata é
e de fato
, logo é assíntota oblíqua.
Passo 8
Cálculo do mesmo para
. Repetimos os passos: para
temos
também, logo
. Assim
Para
,
Agora fazemos
. Novamente
independentemente de
ou
(é o valor da derivada de
em
), então o cálculo dá o mesmo: primeiro termo tende a
e o segundo a
, logo
. Portanto para
também temos a mesma assíntota oblíqua
.
Passo 9
Resumo dos resultados: há uma assíntota vertical em
(porque
), não há assíntotas horizontais, e há uma assíntota oblíqua
válida tanto para
quanto para
.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota oblíqua: (para
e
)
Assíntota oblíqua: