Assíntotas. ( \mathbf{2 , 2} pontos) Determine as assíntotas da função g(x)=(2 x+4) e^{-1 / x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas da função g(x)=(2x+4)e^{-1/x}. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(x)=(2x+4)e^{-1/x}.
  • O domínio natural é todos os x tais que x\neq 0 (porque aparece 1/x no expoente).
  • Precisamos encontrar todas as assíntotas possíveis: verticais, horizontais ou oblíquas (se existirem).

Passo 2

Vamos começar verificando possíveis assíntotas verticais. Definição prática: uma reta vertical x=a é assíntota vertical se pelo menos uma das únicas limites laterais \lim_{x\to a^-} g(x) ou \lim_{x\to a^+} g(x) é \pm\infty. Como g não está definida em x=0, testamos x\to 0^+ e x\to 0^-.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita x\to 0^+. Quando x\to 0^+ temos 1/x\to +\infty, logo -1/x\to -\infty e
e^{-1/x}\to 0.
Também (2x+4)\to 4. Portanto o produto tende a
\lim_{x\to 0^+} g(x) = 4\cdot 0 = 0.
Concluímos que pela direita não há explosão infinita, o limite é finito (igual a 0).

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda x\to 0^-. Quando x\to 0^- temos 1/x\to -\infty, então -1/x\to +\infty e
e^{-1/x}\to +\infty.
Como (2x+4)\to 4 não se anula, o produto diverge para +\infty:
\lim_{x\to 0^-} g(x) = +\infty.
Pelo critério do Passo 2, como uma das limites laterais é +\infty, existe uma assíntota vertical em x=0.

Passo 5

Agora investigamos assíntotas no infinito (horizontais ou oblíquas). Estratégia prática para procurar uma assíntota oblíqua do tipo y=ax+b: primeiro calculamos
a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{g(x)}{x},
se esse limite existir finito então tentamos
b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(g(x)-a x\bigr).
Se ambos existirem e g(x)-(ax+b)\to 0, então y=ax+b é assíntota oblíqua (possivelmente válida para +\infty, -\infty ou ambos).

Passo 6

Cálculo de a para x\to+\infty. Temos
\frac{g(x)}{x}=\frac{(2x+4)e^{-1/x}}{x}=(2+\tfrac{4}{x})e^{-1/x}.
Quando x\to+\infty temos \tfrac{4}{x}\to 0 e -1/x\to 0, então e^{-1/x}\to 1. Logo
a=\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=2\cdot 1=2.
Portanto a inclinação candidata é a=2.

Passo 7

Cálculo do termo independente b para x\to+\infty. Escrevemos
g(x)-2x=(2x+4)e^{-1/x}-2x.
Rearranjando:
g(x)-2x = 2x\bigl(e^{-1/x}-1\bigr) + 4e^{-1/x}.
Sabemos que e^{-1/x}\to 1 quando x\to+\infty, então 4e^{-1/x}\to 4. Resta calcular
\lim_{x\to+\infty} 2x\bigl(e^{-1/x}-1\bigr).
Fazemos a substituição t=\tfrac{1}{x} (assim t\to 0^+ quando x\to+\infty). Então
2x\bigl(e^{-1/x}-1\bigr)=2\frac{e^{-t}-1}{t}.
Usamos o desenvolvimento de e^{-t} perto de t=0: e^{-t}=1-t+O(t^2), então \dfrac{e^{-t}-1}{t}\to -1. Portanto
\lim_{x\to+\infty} 2x\bigl(e^{-1/x}-1\bigr) = 2\cdot(-1) = -2.
Somando as partes:
b=\lim_{x\to+\infty} (g(x)-2x) = -2 + 4 = 2.
Portanto para x\to+\infty a reta candidata é y=2x+2 e de fato g(x)-(2x+2)\to 0, logo é assíntota oblíqua.

Passo 8

Cálculo do mesmo para x\to -\infty. Repetimos os passos: para x\to -\infty temos -1/x\to 0 também, logo e^{-1/x}\to 1. Assim
a=\lim_{x\to -\infty}\frac{g(x)}{x}=2.
Para b,
g(x)-2x=2x\bigl(e^{-1/x}-1\bigr)+4e^{-1/x}.
Agora fazemos t=\tfrac{1}{x}\to 0^-. Novamente \dfrac{e^{-t}-1}{t}\to -1 independentemente de t\to 0^+ ou 0^- (é o valor da derivada de e^{-t} em 0), então o cálculo dá o mesmo: primeiro termo tende a -2 e o segundo a 4, logo b=2. Portanto para x\to -\infty também temos a mesma assíntota oblíqua y=2x+2.

Passo 9

Resumo dos resultados: há uma assíntota vertical em x=0 (porque \lim_{x\to 0^-}g(x)=+\infty), não há assíntotas horizontais, e há uma assíntota oblíqua
y=2x+2
válida tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty.

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Assíntota oblíqua: y=2x+2 (para x\to+\infty e x\to-\infty)

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