TVM e comportamento de funções. (
pontos) Use derivadas para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Determine (se houver) os pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar, usando derivadas, os intervalos em que
é crescente e decrescente; (2) determinar, se existirem, os pontos de máximo e mínimo locais.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de para todo
. Não há restrições de domínio além de todos os reais.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
Passo 2
Conceito rápido e ferramenta que vamos usar: a derivada
representa a taxa de variação de
. Regra prática para a prova:
- Se
em um intervalo, então é crescente nesse intervalo. - Se
em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo. - Pontos onde
ou não existe são candidatos a extremos locais; analisamos a mudança de sinal de para decidir se é mínimo ou máximo.
Para calcular
precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vou explicar rapidamente:
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, . - Regra da cadeia aplicada a
: . Em particular, porque e .
Passo 3
Agora derivamos
. Observe que
. A derivada do termo constante
é
. Para
aplicamos a regra do produto com
e
:
Portanto
Fatorando
(que nunca é zero, pois
para todo
):
Fatorando mais:
Passo 4
Encontramos os pontos críticos resolvendo
e verificando onde
não existe. Aqui
existe para todo
(pois é combinação de funções suaves) e
nunca zera, então as soluções de
vêm de
Logo os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Analisamos o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
,
e
. Como
sempre, o sinal de
é o mesmo do produto
. Podemos estudar
:
-
Para
: é negativo e , então . Logo em . Conclusão: é decrescente em . -
Para
: e , então . Logo em . Conclusão: é crescente em . -
Para
: e , então . Logo em . Conclusão: é decrescente em .
Resumindo o comportamento monotônico: decrescente em
, crescente em
, decrescente em
.
Passo 6
Agora determinamos a natureza dos extremos em
e
usando o teste do sinal da derivada (que já fizemos):
- Em
o sinal de muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso caracteriza uma mudança de decrescente para crescente, ou seja, é um ponto de mínimo local. O valor de em é
Logo há um mínimo local em
.
- Em
o sinal de muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza uma mudança de crescente para decrescente, ou seja, é um ponto de máximo local. O valor de em é
Podemos notar que
, então numericamente
, mas a forma exata
é a resposta exata.
Passo 7
Recapitulando de forma direta (para a prova): os intervalos de crescimento/decrescimento vieram da análise do sinal de
. Os extremos locais são os pontos críticos com mudança de sinal de
conforme identificado.
Resposta
Mínimo local:
Máximo local: