TVM e comportamento de funções. ( \mathbf{2 , 2} pontos) Use derivadas para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x)=3 x^{2} e^{-x}+2. Determine (se houver) os pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x^{2}e^{-x}+2 e pede duas coisas: (1) determinar, usando derivadas, os intervalos em que f é crescente e decrescente; (2) determinar, se existirem, os pontos de máximo e mínimo locais.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f para todo x\in\mathbb{R}. Não há restrições de domínio além de todos os reais.

Passo 2

Conceito rápido e ferramenta que vamos usar: a derivada f'(x) representa a taxa de variação de f. Regra prática para a prova:
  • Se f'(x)>0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.
  • Se f'(x)<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
  • Pontos onde f'(x)=0 ou f' não existe são candidatos a extremos locais; analisamos a mudança de sinal de f' para decidir se é mínimo ou máximo.
Para calcular f'(x) precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vou explicar rapidamente:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, (uv)'=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia aplicada a e^{g(x)}: \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}. Em particular, \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x} porque g(x)=-x e g'(x)=-1.

Passo 3

Agora derivamos f. Observe que f(x)=3x^{2}e^{-x}+2. A derivada do termo constante 2 é 0. Para 3x^{2}e^{-x} aplicamos a regra do produto com u(x)=3x^{2} e v(x)=e^{-x}:
u'(x)=6x,\qquad v'(x)=-e^{-x}.
Portanto
f'(x)=u'v+uv' = 6x e^{-x} + 3x^{2}(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} (que nunca é zero, pois e^{-x}>0 para todo x):
f'(x)=e^{-x}\bigl(6x-3x^{2}\bigr).
Fatorando mais:
f'(x)=3x e^{-x}(2-x).

Passo 4

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e verificando onde f' não existe. Aqui f' existe para todo x (pois é combinação de funções suaves) e e^{-x}>0 nunca zera, então as soluções de f'(x)=0 vêm de
3x(2-x)=0.
Logo os pontos críticos são x=0 e x=2.

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos: (-\infty,0), (0,2) e (2,\infty). Como e^{-x}>0 sempre, o sinal de f'(x) é o mesmo do produto 3x(2-x). Podemos estudar x(2-x):
  • Para x<0: x é negativo e 2-x>0, então x(2-x)<0. Logo f'(x)<0 em (-\infty,0). Conclusão: f é decrescente em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: x>0 e 2-x>0, então x(2-x)>0. Logo f'(x)>0 em (0,2). Conclusão: f é crescente em (0,2).
  • Para x>2: x>0 e 2-x<0, então x(2-x)<0. Logo f'(x)<0 em (2,\infty). Conclusão: f é decrescente em (2,\infty).
Resumindo o comportamento monotônico: decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,2), decrescente em (2,\infty).

Passo 6

Agora determinamos a natureza dos extremos em x=0 e x=2 usando o teste do sinal da derivada (que já fizemos):
  • Em x=0 o sinal de f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso caracteriza uma mudança de decrescente para crescente, ou seja, x=0 é um ponto de mínimo local. O valor de f em 0 é
f(0)=3\cdot 0^{2}e^{0}+2=2.
Logo há um mínimo local em \bigl(0,\,2\bigr).
  • Em x=2 o sinal de f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza uma mudança de crescente para decrescente, ou seja, x=2 é um ponto de máximo local. O valor de f em 2 é
f(2)=3\cdot 2^{2}e^{-2}+2=12e^{-2}+2.
Podemos notar que e^{-2}\approx 0,1353, então numericamente f(2)\approx 2+12\cdot 0,1353\approx 3,624, mas a forma exata 2+12e^{-2} é a resposta exata.

Passo 7

Recapitulando de forma direta (para a prova): os intervalos de crescimento/decrescimento vieram da análise do sinal de f'(x)=3x e^{-x}(2-x). Os extremos locais são os pontos críticos com mudança de sinal de f' conforme identificado.

Resposta

f é decrescente em (-\infty,0).
f é crescente em (0,2).
f é decrescente em (2,\infty).
Mínimo local: \bigl(0,\,2\bigr).
Máximo local: \bigl(2,\,2+12e^{-2}\bigr).

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