Conceitue a lei de Gauss para o fluxo elétrico, demonstrando as equações até a apresentação da Equação de Maxwell para a densidade de fluxo elétrico.
Passo 1
O que o enunciado pede: conceituar a lei de Gauss para o fluxo elétrico e demonstrar as equações até chegar na Equação de Maxwell para a densidade de fluxo elétrico.
Informações relevantes que usarei (sem resolver ainda):
Informações relevantes que usarei (sem resolver ainda):
- Definição de fluxo elétrico através de uma superfície fechada: será preciso usar integral de superfície de um campo vetorial.
- A relação entre fluxo elétrico e carga elétrica total encerrada pela superfície (forma integral da lei de Gauss).
- O Teorema da Divergência (Teorema de Gauss no cálculo vetorial) para passar da forma integral para a forma diferencial.
- No meio material: conceito de polarização
, carga ligada (bound) associada a e definição do vetor deslocamento elétrico . - Objetivo final: obter a equação diferencial de Maxwell que relaciona
com a densidade de carga livre .
Passo 2
Definição de fluxo elétrico e enunciado da lei de Gauss (forma integral).
Fluxo elétrico de um campo elétrico através de uma superfície fechada
é a integral de superfície do produto escalar entre
e o elemento de área vetorial
:
Fluxo elétrico de um campo elétrico
A lei de Gauss para o campo elétrico afirma que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada
é igual à carga total
contida no volume
limitado por
, dividida pela permissividade do vácuo
:
Aqui:
-
é o vetor área infinitesimal, orientado pela normal externa à superfície. -
é a carga elétrica total (livre + ligada, se houver) dentro do volume fechado por . -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante física).
Passo 3
Passando da forma integral para a forma diferencial usando o Teorema da Divergência.
O Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss do cálculo vetorial) diz, para um campo vetorial ,
O Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss do cálculo vetorial) diz, para um campo vetorial
onde
é o volume limitado por
. Aplicando esse teorema com
à lei de Gauss integral, obtemos
onde substituímos
e
é a densidade volumétrica total de carga elétrica (unidades C/m
). Como isso vale para qualquer volume arbitrário
, as integrandas devem ser iguais ponto a ponto, o que leva à forma diferencial da lei de Gauss:
Explicando:
(divergência de
) mede, em cada ponto, a “taxa” com que linhas de campo saem do ponto; a equação diz que essa taxa é proporcional à densidade de carga local.
Passo 4
Interpretação física da forma diferencial e distinção entre cargas livres e ligadas.
Em meios materiais não necessariamente a densidade total é apenas “carga livre” (aquela controlada externamente): há também cargas ligadas associadas à polarização do material. Portanto é útil separar
Em meios materiais não necessariamente a densidade total
-
são cargas livres (por exemplo, cargas depositadas por fios ou eletrodos). -
são as cargas ligadas ao material, surgidas quando as moléculas/micropartículas se polarizam.
Passo 5
Definição de polarização
e expressão das cargas ligadas.
Polarização é o vetor densidade de momento dipolar elétrico por unidade de volume (unidades C/m
). A partir de uma distribuição contínua de dipolos pode-se mostrar (resultado padrão da eletrostática em meios polarizados) que as cargas ligadas podem ser representadas por:
Polarização
- densidade volumétrica ligada
- densidade superficial ligada (na superfície de separação entre o material e o exterior)
onde
é o versor normal exterior à superfície.
Breve explicação da origem: dipolos alinhados produzem cancelamento interno, deixando uma divergência de que age como carga volumétrica; na superfície, há dipolos com terminação que aparecem como carga superficial
.
Breve explicação da origem: dipolos alinhados produzem cancelamento interno, deixando uma divergência de
Passo 6
Substituindo
na forma diferencial de Gauss e usando
.
A forma diferencial de Gauss ( ) torna-se
A forma diferencial de Gauss (
Multiplicando ambos os lados por
,
Rearranjando os termos que contêm divergências:
Passo 7
Definição do vetor deslocamento elétrico
e apresentação da equação de Maxwell correspondente.
Define-se o vetor deslocamento elétrico (densidade de fluxo elétrico) por
Define-se o vetor deslocamento elétrico
Física intuitiva:
reúne o efeito do campo no vácuo (
) e a resposta do meio (
), e é útil porque relaciona-se diretamente à carga livre. A equação obtida no passo anterior fica então elegantemente
Esta é a forma diferencial da Lei de Gauss apropriada para meios materiais e é uma das equações de Maxwell (a equação de Maxwell para a densidade de fluxo elétrico). Em forma integral, sobre uma superfície fechada
que envolve um volume
,
Ou seja: o fluxo de
através de uma superfície fechada é igual à carga livre total encerrada.
Passo 8
Comentário prático e nota sobre meios lineares isotrópicos.
- Para um material linear, homogêneo e isotrópico a polarização é proporcional ao campo elétrico:
, onde é a susceptibilidade elétrica. Então
com
sendo a permissividade do meio. Nesse caso a equação
reduz o problema a trabalhar com
.
- Em geral,
pode depender de posição, frequência, ser não-linear ou anisotrópica; a definição é sempre válida como definição operacional.