Demonstre a Equação de Maxwell para o campo elétrico pela relação entre o campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar a Equação de Maxwell para o campo elétrico a partir da relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Informações e elementos dados que vamos usar (sem resolver ainda):
Informações e elementos dados que vamos usar (sem resolver ainda):
- A relação entre campo elétrico e potencial elétrico é
. - Existe uma densidade de carga espacial
. - O potencial elétrico gerado por uma distribuição de cargas no espaço, em unidades SI, é dado por
- A constante
é a permissividade do vácuo. - Precisamos chegar à forma diferencial da Lei de Gauss (Equação de Maxwell para
), ou seja a relação entre e .
Passo 2
Entender as notações e o potencial: na expressão
-
é o ponto de campo onde avaliamos o potencial. -
é a variável de integração (ponto da fonte, onde está a carga elementar). -
é o elemento de volume na coordenada primada.
Fisicamente: o potencial emé soma (integral) das contribuições de todas as cargas , cada contribuição pesando como .
Passo 3
Mostrar que o campo elétrico tem a forma integral de Coulomb quando usamos
. Primeiro calculamos o gradiente espacial do núcleo
. Para
vale a identidade bem conhecida
Explicando essa fórmula de forma simples: derivar
em relação a
dá um vetor que aponta de
para
e tem módulo proporcional a
, daí a expressão acima. Agora aplicamos
trocando a ordem de gradiente e integral (válido sob hipóteses normais de regularidade da distribuição):
Isso é exatamente a expressão do campo de Coulomb como integral sobre a densidade de carga. Bom sinal: consistência entre definição do potencial e definição do campo.
Passo 4
Queremos a forma diferencial de Gauss:
. Usamos a relação entre divergente e Laplaciano quando o campo é gradiente de um escalar:
onde
é o operador Laplaciano. Portanto basta calcular
a partir da expressão integral do potencial.
Passo 5
Calcular o Laplaciano de
trocando ordem de Laplaciano e integral:
Agora precisamos de uma identidade crucial (propriedade da função de Green do Laplaciano no espaço livre):
onde
é a delta de Dirac. Vou explicar por que isso é verdade de forma intuitiva e breve, sem pular passos.
Justificação da identidade:
- Para
a função é harmônica, isto é , porque é solução da equação de Laplace fora da origem. Isso é verificado diretamente por derivação se necessário. - A singularidade está em
. Para identificar a contribuição concentrada ali, integramos o Laplaciano sobre uma esfera pequena de raio centrada em e aplicamos o teorema da divergência:
Usando
e a superfície de uma esfera de raio
, obtemos
Assim, para qualquer
a integral do Laplaciano sobre a pequena bola vale
. Isso é a característica de uma distribuição igual a
vezes a delta de Dirac centrada em
. Portanto
no sentido das distribuições (isto é, quando integrado contra funções testas).
Passo 6
Usar a identidade da etapa anterior na integral do Laplaciano de
:
A propriedade da delta de Dirac reduz a integral ao valor da função no ponto
:
Logo
Passo 7
Voltar à relação entre divergente de
e Laplaciano do potencial, da etapa 4:
Substituindo o resultado do Passo 6:
Esta é exatamente a forma diferencial da Lei de Gauss para o campo elétrico (uma das equações de Maxwell):
Passo 8
Comentário prático e exemplo rápido (para fixar): se a distribuição
é um carga pontual
em
, escreve-se
. A equação acima dá
o que corresponde exatamente ao fato de que fora da origem
e que a carga total dentro de uma pequena esfera ao redor da origem é
. É uma boa checagem de consistência.