Demonstre a Equação de Maxwell para o campo elétrico pela relação entre o campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar a Equação de Maxwell para o campo elétrico a partir da relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Informações e elementos dados que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A relação entre campo elétrico e potencial elétrico é \mathbf{E} = -\nabla V.
  • Existe uma densidade de carga espacial \rho(\mathbf{r}).
  • O potencial elétrico gerado por uma distribuição de cargas no espaço, em unidades SI, é dado por
V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,d^3r'.
  • A constante \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Precisamos chegar à forma diferencial da Lei de Gauss (Equação de Maxwell para \mathbf{E}), ou seja a relação entre \nabla\cdot\mathbf{E} e \rho.

Passo 2

Entender as notações e o potencial: na expressão
V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,d^3r'
  • \mathbf{r} é o ponto de campo onde avaliamos o potencial.
  • \mathbf{r}' é a variável de integração (ponto da fonte, onde está a carga elementar).
  • d^3r' é o elemento de volume na coordenada primada.
    Fisicamente: o potencial em \mathbf{r} é soma (integral) das contribuições de todas as cargas \rho(\mathbf{r}')\,d^3r', cada contribuição pesando como 1/\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert.

Passo 3

Mostrar que o campo elétrico tem a forma integral de Coulomb quando usamos \mathbf{E}=-\nabla V. Primeiro calculamos o gradiente espacial do núcleo 1/\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert. Para \mathbf{r}\neq\mathbf{r}' vale a identidade bem conhecida
\nabla_{\mathbf{r}}\!\left(\frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\right) = -\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^3}.
Explicando essa fórmula de forma simples: derivar 1/\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert em relação a \mathbf{r} dá um vetor que aponta de \mathbf{r}' para \mathbf{r} e tem módulo proporcional a 1/r^2, daí a expressão acima. Agora aplicamos \mathbf{E}=-\nabla V trocando a ordem de gradiente e integral (válido sob hipóteses normais de regularidade da distribuição):
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla_{\mathbf{r}} V(\mathbf{r}) = -\nabla_{\mathbf{r}}\left[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,d^3r'\right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \rho(\mathbf{r}')\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^3}\,d^3r'.
Isso é exatamente a expressão do campo de Coulomb como integral sobre a densidade de carga. Bom sinal: consistência entre definição do potencial e definição do campo.

Passo 4

Queremos a forma diferencial de Gauss: \nabla\cdot\mathbf{E} = ?. Usamos a relação entre divergente e Laplaciano quando o campo é gradiente de um escalar:
\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla\cdot\big(\nabla V(\mathbf{r})\big) = -\nabla^2 V(\mathbf{r}),
onde \nabla^2 é o operador Laplaciano. Portanto basta calcular \nabla^2 V(\mathbf{r}) a partir da expressão integral do potencial.

Passo 5

Calcular o Laplaciano de V trocando ordem de Laplaciano e integral:
\nabla^2 V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \rho(\mathbf{r}')\,\nabla^2_{\mathbf{r}}\!\left(\frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\right)\,d^3r'.
Agora precisamos de uma identidade crucial (propriedade da função de Green do Laplaciano no espaço livre):
\nabla^2_{\mathbf{r}}\!\left(\frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\right) = -4\pi\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'),
onde \delta é a delta de Dirac. Vou explicar por que isso é verdade de forma intuitiva e breve, sem pular passos.
Justificação da identidade:
  • Para \mathbf{r}\neq\mathbf{r}' a função 1/\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert é harmônica, isto é \nabla^2 (1/\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert)=0, porque é solução da equação de Laplace fora da origem. Isso é verificado diretamente por derivação se necessário.
  • A singularidade está em \mathbf{r}=\mathbf{r}'. Para identificar a contribuição concentrada ali, integramos o Laplaciano sobre uma esfera pequena S_\epsilon de raio \epsilon centrada em \mathbf{r}' e aplicamos o teorema da divergência:
\int_{V_\epsilon} \nabla^2_{\mathbf{r}}\!\left(\frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\right)\,d^3r = \oint_{\partial V_\epsilon} \nabla_{\mathbf{r}}\!\left(\frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\right)\cdot d\mathbf{S}.
Usando \nabla_{\mathbf{r}}(1/r) = -\mathbf{\hat r}/r^2 e a superfície de uma esfera de raio \epsilon, obtemos
\oint_{\partial V_\epsilon} \nabla_{\mathbf{r}}\!\left(\frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\right)\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial V_\epsilon} \left(-\frac{\mathbf{\hat n}}{\epsilon^2}\right)\cdot(\mathbf{\hat n}\,\epsilon^2 d\Omega) = -\int_{4\pi} d\Omega = -4\pi.
Assim, para qualquer \epsilon>0 a integral do Laplaciano sobre a pequena bola vale -4\pi. Isso é a característica de uma distribuição igual a -4\pi vezes a delta de Dirac centrada em \mathbf{r}'. Portanto
\nabla^2_{\mathbf{r}}\!\left(\frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\right) = -4\pi\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}'),
no sentido das distribuições (isto é, quando integrado contra funções testas).

Passo 6

Usar a identidade da etapa anterior na integral do Laplaciano de V:
\nabla^2 V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \rho(\mathbf{r}')\,\big(-4\pi\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\big)\,d^3r' = -\frac{1}{\varepsilon_0}\int \rho(\mathbf{r}')\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,d^3r'.
A propriedade da delta de Dirac reduz a integral ao valor da função no ponto \mathbf{r}:
\int \rho(\mathbf{r}')\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,d^3r' = \rho(\mathbf{r}).
Logo
\nabla^2 V(\mathbf{r}) = -\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}.

Passo 7

Voltar à relação entre divergente de \mathbf{E} e Laplaciano do potencial, da etapa 4:
\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla^2 V(\mathbf{r}).
Substituindo o resultado do Passo 6:
\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\left(-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}\right) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}.
Esta é exatamente a forma diferencial da Lei de Gauss para o campo elétrico (uma das equações de Maxwell):
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}.}

Passo 8

Comentário prático e exemplo rápido (para fixar): se a distribuição \rho é um carga pontual q em \mathbf{r}=0, escreve-se \rho(\mathbf{r})=q\,\delta(\mathbf{r}). A equação acima dá
\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\delta(\mathbf{r}),
o que corresponde exatamente ao fato de que fora da origem \nabla\cdot\mathbf{E}=0 e que a carga total dentro de uma pequena esfera ao redor da origem é q. É uma boa checagem de consistência.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}

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