Indique a diferença na intensidade de campo elétrico para uma linha de carga, para uma superfície de carga e para um volume de carga.

Passo 1

Vou listar claramente o que a pergunta pede e quais quantidades vamos usar (sem resolver ainda). O enunciado quer que eu indique a diferença na intensidade do campo elétrico para três tipos de distribuição de carga:
  • linha de carga (usar densidade linear de carga \lambda);
  • superfície de carga (usar densidade superficial de carga \sigma);
  • volume de carga (usar densidade volumétrica \rho ou carga total Q).
Vamos encontrar como a intensidade do campo elétrico E varia com a distância r da distribuição em cada caso. As quantidades que aparecem serão:
  • \lambda: densidade linear (carga por comprimento), unidades C/m;
  • \sigma: densidade superficial (carga por área), unidades C/m ^2;
  • \rho: densidade volumétrica (carga por volume), unidades C/m ^3;
  • Q: carga total (C);
  • r: distância ao centro/linha/plano conforme o caso (m);
  • \epsilon_0: permissividade do vácuo (constante), \epsilon_0\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \text{F/m}.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a Lei de Gauss no vácuo, na forma integral,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
O que isso significa, em palavras simples:
  • o lado esquerdo é o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (somatório de E projetado em cada área infinitesimal);
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro dessa superfície fechada;
  • \epsilon_0 é uma constante que relaciona campo e carga no vácuo.
    Estratégia prática: escolher uma superfície gaussiana que respeite a simetria do problema (assim E tem módulo constante sobre partes da superfície e a integral fica fácil). A dependência de E com r emerge diretamente do cálculo do fluxo sobre essa superfície e de como Q_{\text{enc}} cresce com r.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana: cilindro coaxial de raio r e comprimento L. Por simetria, o campo \mathbf{E} é radial (perpendicular ao eixo), tem módulo E(r) constante sobre a superfície curva do cilindro, e é paralelo à normal aí. Nas tampas do cilindro \mathbf{E} é paralelo ao plano das tampas (logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nessas superfícies).
Fluxo total através da superfície gaussiana:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot (\text{área lateral do cilindro}) = E(r)\cdot (2\pi r L).á
Carga envolvida dentro do cilindro (pegar do enunciado): Q_{\text{enc}}=\lambda L.
Aplicando Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
Cancelando L e isolando E(r):
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}.
Interpretação prática: para uma linha de carga longa/infinita, a intensidade do campo decai como 1/r. Aqui cada variável significa: \lambda densidade linear, r distância radial até a linha, \epsilon_0 constante.

Passo 4

Escolha da superfície gaussiana: “pílula” (cilindro muito achatado) atravessando o plano, com área da base A. Por simetria, o campo é perpendicular ao plano e tem módulo E igual nas duas faces opostas da pílula; paralelo ao plano o campo é nulo por simetria do plano infinito.
Fluxo total:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E\cdot A + E\cdot A = 2EA,
pois há contribuição das duas tampas (uma de cada lado do plano). Carga envolvida:
Q_{\text{enc}}=\sigma A.
Gauss:
2EA=\frac{\sigma A}{\epsilon_0}.
Cancelando A e isolando E:
E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}.
Interpretação prática: para um plano infinito uniformemente carregado, o campo elétrico é constante — não depende de r. É a razão de as linhas de campo não “se espalharem” com distância no caso do plano infinito: a área atravessada pelas linhas (duas faces) não cresce com r.

Passo 5

Aqui precisamos de simetria 3D. Dois subcasos úteis e comuns:
a) carga pontual ou distribuição esférica com carga total Q, ponto externo ( r fora da distribuição): escolha superfície gaussiana esfera de raio r. Fluxo:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot (4\pi r^2).
Se toda a carga Q está dentro da esfera (caso externo), então Q_{\text{enc}}=Q. Pela Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^2=\frac{Q}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}.
Interpretação: campo decai como 1/r^2. Esse é o caso de uma distribuição realmente tridimensional: as linhas de campo se espalham sobre uma área esférica 4\pi r^2.
b) distribuição volumétrica uniforme esférica de raio R (caso interno, r<R): densidade volumétrica \rho. Carga contida até raio r:
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3.
Aplicando Gauss (mesma esfera gaussiana de raio r):
E(r)\,4\pi r^2=\frac{\rho\,(4/3)\pi r^3}{\epsilon_0}.
Simplificando:
E(r)=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}.
Ou escrevendo em termos da carga total Q=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3, para r<R:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{r}{R^3}\quad(\proporcional\\ a\\ r).
Interpretação: dentro de uma esfera uniformemente carregada o campo cresce linearmente com r; fora, decai como 1/r^2.

Passo 6

Resumo das razões físicas: a diferença de comportamento vem de como as linhas de campo elétrico “se espalham” à medida que se afasta da fonte:
  • linha (1D): as linhas se distribuem ao redor de um círculo de raio r (comprimento 2\pi r) → E\propto 1/r.
  • superfície (2D): para um plano infinito, o número de linhas que atravessam uma face da pílula não depende de r E constante.
  • volume (3D): linhas se distribuem sobre uma esfera de área 4\pi r^2 E\propto 1/r^2 (fora da distribuição); se a carga está distribuída no volume, dentro da distribuição geralmente E cresce com r (ex.: esfera uniforme E\propto r).
Força final: sempre escolha a superfície gaussiana que respeite a simetria (cilindro para linha, pílula para plano, esfera para carga pontual/esférica); a dependência de r aparece diretamente do termo geométrico da área da superfície gaussiana.

Resposta

Linha (linha infinita, densidade \lambda): E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} (logo E\propto 1/r).
Superfície (plano infinito, densidade \sigma): E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} (independe de r).
Volume (carga pontual ou esfera, carga total Q, fora da distribuição): E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} (logo E\propto 1/r^2); para esfera uniforme, dentro: E(r)=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_0} (logo E\propto r).

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