Indique a diferença na intensidade de campo elétrico para uma linha de carga, para uma superfície de carga e para um volume de carga.
Passo 1
Vou listar claramente o que a pergunta pede e quais quantidades vamos usar (sem resolver ainda). O enunciado quer que eu indique a diferença na intensidade do campo elétrico para três tipos de distribuição de carga:
- linha de carga (usar densidade linear de carga
); - superfície de carga (usar densidade superficial de carga
); - volume de carga (usar densidade volumétrica
ou carga total ).
Vamos encontrar como a intensidade do campo elétrico
varia com a distância
da distribuição em cada caso. As quantidades que aparecem serão:
-
: densidade linear (carga por comprimento), unidades C/m; -
: densidade superficial (carga por área), unidades C/m ; -
: densidade volumétrica (carga por volume), unidades C/m ; -
: carga total (C); -
: distância ao centro/linha/plano conforme o caso (m); -
: permissividade do vácuo (constante), .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a Lei de Gauss no vácuo, na forma integral,
O que isso significa, em palavras simples:
- o lado esquerdo é o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (somatório de
projetado em cada área infinitesimal); -
é a carga total contida dentro dessa superfície fechada; -
é uma constante que relaciona campo e carga no vácuo.
Estratégia prática: escolher uma superfície gaussiana que respeite a simetria do problema (assimtem módulo constante sobre partes da superfície e a integral fica fácil). A dependência de com emerge diretamente do cálculo do fluxo sobre essa superfície e de como cresce com .
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana: cilindro coaxial de raio
e comprimento
. Por simetria, o campo
é radial (perpendicular ao eixo), tem módulo
constante sobre a superfície curva do cilindro, e é paralelo à normal aí. Nas tampas do cilindro
é paralelo ao plano das tampas (logo
nessas superfícies).
Fluxo total através da superfície gaussiana:
Carga envolvida dentro do cilindro (pegar do enunciado):
Aplicando Gauss:
Cancelando
e isolando
:
Interpretação prática: para uma linha de carga longa/infinita, a intensidade do campo decai como
. Aqui cada variável significa:
densidade linear,
distância radial até a linha,
constante.
Passo 4
Escolha da superfície gaussiana: “pílula” (cilindro muito achatado) atravessando o plano, com área da base
. Por simetria, o campo é perpendicular ao plano e tem módulo
igual nas duas faces opostas da pílula; paralelo ao plano o campo é nulo por simetria do plano infinito.
Fluxo total:
pois há contribuição das duas tampas (uma de cada lado do plano). Carga envolvida:
Gauss:
Cancelando
e isolando
:
Interpretação prática: para um plano infinito uniformemente carregado, o campo elétrico é constante — não depende de
. É a razão de as linhas de campo não “se espalharem” com distância no caso do plano infinito: a área atravessada pelas linhas (duas faces) não cresce com
.
Passo 5
Aqui precisamos de simetria 3D. Dois subcasos úteis e comuns:
a) carga pontual ou distribuição esférica com carga total
, ponto externo (
fora da distribuição): escolha superfície gaussiana esfera de raio
. Fluxo:
Se toda a carga
está dentro da esfera (caso externo), então
. Pela Lei de Gauss:
Interpretação: campo decai como
. Esse é o caso de uma distribuição realmente tridimensional: as linhas de campo se espalham sobre uma área esférica
.
b) distribuição volumétrica uniforme esférica de raio
(caso interno,
): densidade volumétrica
. Carga contida até raio
:
Aplicando Gauss (mesma esfera gaussiana de raio
):
Simplificando:
Ou escrevendo em termos da carga total
, para
:
Interpretação: dentro de uma esfera uniformemente carregada o campo cresce linearmente com
; fora, decai como
.
Passo 6
Resumo das razões físicas: a diferença de comportamento vem de como as linhas de campo elétrico “se espalham” à medida que se afasta da fonte:
- linha (1D): as linhas se distribuem ao redor de um círculo de raio
(comprimento ) → . - superfície (2D): para um plano infinito, o número de linhas que atravessam uma face da pílula não depende de
→ constante. - volume (3D): linhas se distribuem sobre uma esfera de área
→ (fora da distribuição); se a carga está distribuída no volume, dentro da distribuição geralmente cresce com (ex.: esfera uniforme ).
Força final: sempre escolha a superfície gaussiana que respeite a simetria (cilindro para linha, pílula para plano, esfera para carga pontual/esférica); a dependência de
aparece diretamente do termo geométrico da área da superfície gaussiana.
Resposta
Linha (linha infinita, densidade
):
(logo
).
Superfície (plano infinito, densidade ):
(independe de
).
Volume (carga pontual ou esfera, carga total , fora da distribuição):
(logo
); para esfera uniforme, dentro:
(logo
).
Superfície (plano infinito, densidade
Volume (carga pontual ou esfera, carga total