1. A concentração de bactérias num sistema de água público tem aumentado, o que ocasionou um tratamento com agentes anti-bacterianos. Bioquímicos responsáveis pelo tratamento da água estimam que N(t), o número de bactérias por \mathrm{cm}^{3}, pode ser descrito pela equação N(t)=40 t^{2}-320 t+1000, onde t é o número de dias de tratamento.
    (a) A água é considerada imprópria para beber quando a concentração excede 720 bactérias por \mathrm{cm}^{3}. Quanto tempo após o início do tratamento a água poderá ser bebida novamente?
\begin{gathered} t \geq 0 \text { e } t: \text { número de dias de tratamento } \\\ N(t) \leq 720 \\\\ 40 t^{2}-320 t+1000 \leq 720 \\\ f(t)=40 t^{2}-320 t+280 \leq 0 \\\\ 40 t^{2}-320 t+280=0 \Rightarrow t_{1}=1 \text { e } t_{2}=7 \end{gathered}ú
Como temos uma parábola com concavidade para cima a água poderá ser consumida após um período de tratamento entre 1 e 7 dias.

Passo 1

O enunciado dá a concentração de bactérias por \mathrm{cm}^{3} em função do tempo t (dias) como
N(t) = 40\,t^{2} - 320\,t + 1000
e afirma que a água fica própria para consumo quando N(t)\le720. O conteúdo é resolução de inequação quadrática.

Passo 2

Escrevemos a condição de consumo próprio:
N(t)\le720
40\,t^{2}-320\,t+1000 \le 720
Subtraindo 720 de ambos os lados:
40\,t^{2}-320\,t+280 \le 0
e dividindo tudo por 40 (positivo, não inverte o sinal):
t^{2}-8\,t+7 \le 0.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos a equação associada:
t^{2}-8\,t+7 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2} - 4\cdot1\cdot7}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}.
Logo
t_{1} = 1 \quad\text{e}\quad t_{2} = 7.

Passo 4

Como o coeficiente de t^{2} é positivo, a parábola abre para cima, e a expressão t^{2}-8t+7 é não positiva exatamente para
1 \le t \le 7.
Além disso, faz sentido físico exigir t\ge0, o que não altera este intervalo.

Resposta

A água poderá ser consumida novamente depois de 1 até 7 dias de tratamento.

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