A concentração de fertilizante no solo é dada por:
F(x, y)=10+3 x y-x^2
(a) Calcule o vetor gradiente de F no ponto (2,1).
(b) Em que direção o fertilizante se espalha mais rapidamente neste ponto? Qual é essa taxa máxima?

Passo 1

O enunciado dá a concentração de fertilizante no solo como a função de duas variáveis
F(x,y)=10+3xy - x^2
e pede:
– (a) o vetor gradiente nabla F em (2,1), que indica a direção e taxa de maior crescimento local;
– (b) a direção de expansão mais rápida e essa taxa máxima.
Para resolver, vamos usar a definição de gradiente e lembrar que a direção de máxima taxa de variação de uma função é dada pelo próprio gradiente, cuja magnitude é essa taxa.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de F. Por definição,
partial Fpartial x(x,y) = partialpartial xl(10 + 3xy - x^2r) = 3y - 2x,
partial Fpartial y(x,y) = partialpartial yl(10 + 3xy - x^2r) = 3x

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais no ponto (2,1):
partial Fpartial x(2,1) = 3cdot1 - 2cdot2 = 3 - 4 = -1,
partial Fpartial y(2,1) = 3cdot2 = 6
Logo, o gradiente em (2,1) é
nabla F(2,1) = l(-1,,6r)

Passo 4

Determinar a direção de máximo crescimento e a taxa máxima.
A direção de maior aumento é ao longo de nabla F(2,1). Para obter um vetor unitário, dividimos pelo seu módulo:
|nabla F(2,1)| = raiz(-1)^2 + 6^2 = raiz1 + 36 = raiz37
Assim, o versor na direção de máximo crescimento é
u = nabla F(2,1)|nabla F(2,1)| = l(-tfrac1raiz37,,tfrac6raiz37r),
e a taxa máxima de variação de F ali é precisamente |nabla F(2,1)| = raiz37.

Resposta

(a) nabla F(2,1)=(-1,6).
(b) A direção de espalhamento mais rápido é
l(-tfrac1raiz37,tfrac6raiz37r)
e a taxa máxima de variação vale raiz37.

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