A concentração de fertilizante no solo é dada por:
(a) Calcule o vetor gradiente de
no ponto
.
(b) Em que direção o fertilizante se espalha mais rapidamente neste ponto? Qual é essa taxa máxima?
(b) Em que direção o fertilizante se espalha mais rapidamente neste ponto? Qual é essa taxa máxima?
Passo 1
O enunciado dá a concentração de fertilizante no solo como a função de duas variáveis
e pede:
– (a) o vetor gradiente em
, que indica a direção e taxa de maior crescimento local;
– (b) a direção de expansão mais rápida e essa taxa máxima.
– (a) o vetor gradiente
– (b) a direção de expansão mais rápida e essa taxa máxima.
Para resolver, vamos usar a definição de gradiente e lembrar que a direção de máxima taxa de variação de uma função é dada pelo próprio gradiente, cuja magnitude é essa taxa.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
. Por definição,
Passo 3
Avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Logo, o gradiente em
é
Passo 4
Determinar a direção de máximo crescimento e a taxa máxima.
A direção de maior aumento é ao longo de . Para obter um vetor unitário, dividimos pelo seu módulo:
A direção de maior aumento é ao longo de
Assim, o versor na direção de máximo crescimento é
e a taxa máxima de variação de
ali é precisamente
.
Resposta
(a)
.
(b) A direção de espalhamento mais rápido é
e a taxa máxima de variação vale .
(b) A direção de espalhamento mais rápido é
e a taxa máxima de variação vale