A temperatura em uma área é modelada por:
(a) Calcule a derivada direcional da temperatura no ponto
na direção que aponta para
.
(b) O que isso indica sobre a variação da temperatura nessa direção?
(b) O que isso indica sobre a variação da temperatura nessa direção?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em função de
por
e pede a derivada direcional de
em
na direção que vai de
para
. Para isso precisamos usar o conceito de gradiente de
e de vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
. Note que
Logo
Passo 4
O vetor que vai de
a
é
O vetor unitário nessa direção é
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção
é o produto escalar
:
Numericamente, como
, isso dá cerca de
Passo 6
O valor négativo de
indica que, ao movermo-nos de
na direção de
, a temperatura diminui, a uma taxa de aproximadamente
unidades de temperatura por unidade de distância.
Resposta
(a)
(b) O sinal negativo mostra que a temperatura decresce nessa direção.
(b) O sinal negativo mostra que a temperatura decresce nessa direção.