A temperatura em uma área é modelada por:
T(x, y)=30+5 e^-0.1(x^2+y^2)
(a) Calcule a derivada direcional da temperatura no ponto (1,2) na direção que aponta para (3,3).
(b) O que isso indica sobre a variação da temperatura nessa direção?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função de (x,y) por
T(x,y)=30+5e^-0,1(x^2+y^2),
e pede a derivada direcional de T em (1,2) na direção que vai de (1,2) para (3,3). Para isso precisamos usar o conceito de gradiente de T e de vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de T. Usando a regra da cadeia:
partial Tpartial x =5,e^-0,1(x^2+y^2)cdot(-0,1cdot2x) =-x,e^-0,1(x^2+y^2),
partial Tpartial y =5,e^-0,1(x^2+y^2)cdot(-0,1cdot2y) =-y,e^-0,1(x^2+y^2)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (1,2). Note que
e^-0,1(1^2+2^2)=e^-0,1cdot5=e^-0,5
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nabla T(1,2)=l(-1cdot e^-0,5,,-2cdot e^-0,5r) =l(-e^-0,5,,-2e^-0,5r)

Passo 4

O vetor que vai de (1,2) a (3,3) é
vec v=(3-1,,3-2)=(2,1)
O vetor unitário nessa direção é
u=vec v|vec v| =(2,1)raiz2^2+1^2 =(2,1)raiz5

Passo 5

A derivada direcional de T em (1,2) na direção u é o produto escalar nabla T(1,2)cdot u:
D uT(1,2) =l(-e^-0,5,,-2e^-0,5r)cdot(2,1)raiz5 =-2e^-0,5-2e^-0,5raiz5 =-4e^-0,5raiz5
Numericamente, como e^-0,5approx0,6065, isso dá cerca de
D uT(1,2)approx-4times0,6065raiz5approx-1,085

Passo 6

O valor négativo de D uT(1,2) indica que, ao movermo-nos de (1,2) na direção de (3,3), a temperatura diminui, a uma taxa de aproximadamente 1,085 unidades de temperatura por unidade de distância.

Resposta

(a) D uT(1,2)=-4e^-0,5raiz5approx-1,085
(b) O sinal negativo mostra que a temperatura decresce nessa direção.

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