A concentração de um poluente no solo é dada por:
C(x, y)=50-2 x^2-y^2
onde x e y estão em metros.
(a) Calcule a taxa de variação da concentração no ponto P(2,1) na direção do vetor v= lang<= 3,4rang<=.
(b) Interprete fisicamente o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado dá a concentração do poluente no solo por
C(x,y)=50-2x^2-y^2
e pede a taxa de variação de C no ponto P(2,1) na direção do vetor vec v=lang<=3,4rang<=. Para isso vamos usar o gradiente de C e a derivada direcional.

Passo 2

Calculamos o gradiente de C:
nabla C(x,y)=l(tfracpartial Cpartial x,tfracpartial Cpartial yr)=(-4x,,-2y)
Logo, em P(2,1),
nabla C(2,1)=(-8,,-2)

Passo 3

Normalizamos o vetor vec v. Sua norma é
|vec v|=raiz3^2+4^2=5,
então o versor é
vec u=vec v|vec v|=llang<=tfrac35,,tfrac45rrang<=

Passo 4

A derivada direcional de C em P na direção de vec v é
Dvec vC(2,1)=nabla C(2,1)cdotvec u =(-8,-2)cdotllang<=tfrac35,tfrac45rrang<= =-8cdottfrac35-2cdottfrac45 =-tfrac325 =-6,4

Passo 5

Como o valor é negativo, ao nos movermos a partir de P na direção de vec v a concentração diminui. Especificamente, para cada metro percorrido nessa direção, a concentração decresce cerca de 6,4 unidades.

Resposta

(a) -tfrac325
(b) A concentração decresce a uma taxa de 6,4 unidades de concentração por metro na direção de vec v.

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