A concentração de um poluente no solo é dada por:
onde
e
estão em metros.
(a) Calcule a taxa de variação da concentração no ponto
na direção do vetor
.
(b) Interprete fisicamente o resultado obtido.
(a) Calcule a taxa de variação da concentração no ponto
(b) Interprete fisicamente o resultado obtido.
Passo 1
O enunciado dá a concentração do poluente no solo por
e pede a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
. Para isso vamos usar o gradiente de
e a derivada direcional.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Logo, em
,
Passo 3
Normalizamos o vetor
. Sua norma é
então o versor é
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção de
é
Passo 5
Como o valor é negativo, ao nos movermos a partir de
na direção de
a concentração diminui. Especificamente, para cada metro percorrido nessa direção, a concentração decresce cerca de
unidades.
Resposta
(a)
(b) A concentração decresce a uma taxa de unidades de concentração por metro na direção de
.
(b) A concentração decresce a uma taxa de