Qual a concentração dos íons \mathrm{OH}^{-}numa solução 0,05 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de \mathrm{NH}_{4} \mathrm{OH}\left(\mathrm{Kb}=1,8 \times 10^{-5}\right) ? Quantas vezes esta concentração diminuirá com a adição 0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de \mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a concentração dos íons \mathrm{OH}^{-} numa solução de \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} de concentração inicial \,0{,}05\\ \mathrm{mol/L} sabendo que \mathrm{K_b}=1{,}8\times10^{-5}; (2) determinar quantas vezes essa concentração de \mathrm{OH}^{-} diminuirá se adicionarmos \,0{,}1\\ \mathrm{mol/L} de \mathrm{NH}_{4}\mathrm{Cl}.\n\nInformações relevantes do enunciado: \n- concentração inicial da base (amônia aquosa): \,[\mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH}]_0 = 0{,}05\\ \mathrm{mol/L}\n- constante de basicidade: \mathrm{K_b}=1{,}8\times10^{-5}\n- concentração do sal adicionado (fornece \mathrm{NH}_4^+): \,[\mathrm{NH}_4^+]_{\text{sal}}=0{,}1\\ \mathrm{mol/L}\n\nA partir daqui vou montar os equilíbrios e calcular passo a passo.

Passo 2

Relembrando o que acontece quimicamente (aula rápida): a base fraca \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} se ioniza parcialmente em água segundo a reação
\mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} \rightleftharpoons \mathrm{NH}_4^{+} + \mathrm{OH}^{-}.
A constante de basicidade \mathrm{K_b} é definida por
\mathrm{K_b}=\frac{[\mathrm{NH}_4^{+}][\mathrm{OH}^{-}]}{[\mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH}]}.
Aqui [\mathrm{NH}_4^{+}] é a concentração do cátion amônio no equilíbrio, [\mathrm{OH}^{-}] é o que queremos, e [\mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH}] é a concentração da base não dissociada no equilíbrio. Vou usar a tabela do tipo ICE (Initial, Change, Equilibrium) para organizar.

Passo 3

Caso 1: sem \mathrm{NH}_4\mathrm{Cl} (apenas \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} 0{,}05\\ \mathrm{M}). Faço a tabela ICE para a reação acima:
\begin{array}{c|ccc} & \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} & \rightleftharpoons & \mathrm{NH}_4^{+} + \mathrm{OH}^{-} \\\ \hline \text{Inicial (M)} & 0{,}05 & & 0 \\\ \text{Variação (M)} & -x & & +x \\\ \text{Equilíbrio (M)} & 0{,}05-x & & x \end{array}
Substituindo na expressão de \mathrm{K_b}:
\mathrm{K_b}=\frac{(x)(x)}{0{,}05-x}=\frac{x^{2}}{0{,}05-x}.
Como \mathrm{K_b} é pequeno, costuma-se usar a aproximação 0{,}05-x\approx0{,}05 desde que x seja muito menor que 0{,}05. Com essa aproximação:
x\approx\sqrt{\mathrm{K_b}\cdot 0{,}05}.
Aqui x representa [\mathrm{OH}^{-}] no equilíbrio.

Passo 4

Cálculo numérico do caso 1 (mostrando as contas):
\mathrm{K_b}\cdot 0{,}05 = 1{,}8\times10^{-5}\times0{,}05 = 9{,}0\times10^{-7}.
x\approx\sqrt{9{,}0\times10^{-7}}=\sqrt{9{,}0}\times\sqrt{10^{-7}}=3\times10^{-3{,}5}\approx9{,}4868\times10^{-4}.
Portanto
[\mathrm{OH}^{-}]_{\text{sem sal}}\approx9{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/L}.
Verificação da aproximação: \dfrac{x}{0{,}05}\approx\dfrac{9{,}49\times10^{-4}}{0{,}05}\approx0{,}01898 (≈1,9%), que é pequeno (menor que 5%), então a aproximação é válida.

Passo 5

Caso 2: com \mathrm{NH}_{4}\mathrm{Cl} 0{,}1\\ \mathrm{M}. O sal fornece imediatamente \mathrm{NH}_{4}^{+} em \,0{,}1\\ \mathrm{M}. Agora a tabela ICE fica:
\begin{array}{c|ccc} & \mathrm{NH}_{4}\mathrm{OH} & \rightleftharpoons & \mathrm{NH}_4^{+} + \mathrm{OH}^{-} \\\ \hline \text{Inicial (M)} & 0{,}05 & & 0{,}10 \\\ \text{Variação (M)} & -x & & +x \\\ \text{Equilíbrio (M)} & 0{,}05-x & & 0{,}10+x \end{array}
Substituindo na expressão de \mathrm{K_b}:
\mathrm{K_b}=\frac{(0{,}10+x)(x)}{0{,}05-x}.
Como o íon comum \mathrm{NH}_4^{+} já está em alta concentração ( 0{,}10\\ \mathrm{M}), normalmente x será muito pequeno comparado com 0{,}10 e com 0{,}05. Assim aproximo 0{,}10+x\approx0{,}10 e 0{,}05-x\approx0{,}05. Com isso:
\mathrm{K_b}\approx\frac{0{,}10\cdot x}{0{,}05} \quad\Rightarrow\quad x\approx\frac{\mathrm{K_b}\cdot 0{,}05}{0{,}10}.
Novamente x é [\mathrm{OH}^{-}] no equilíbrio agora.

Passo 6

Cálculo numérico do caso 2:
x\approx\frac{1{,}8\times10^{-5}\times0{,}05}{0{,}10}=\frac{9{,}0\times10^{-7}}{0{,}10}=9{,}0\times10^{-6}.
Portanto
[\mathrm{OH}^{-}]_{\text{com sal}}\approx9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/L}.
Verificação rápida da aproximação: x é muito menor que 0{,}05 e que 0{,}10, então as aproximações são consistentes.

Passo 7

Agora calculo em quantas vezes a concentração diminuiu. Tomamos a razão
\text{fator}=\frac{[\mathrm{OH}^{-}]_{\text{sem sal}}}{[\mathrm{OH}^{-}]_{\text{com sal}}} \approx \frac{9{,}4868\times10^{-4}}{9{,}0\times10^{-6}}\approx105{,}4.
Isto é, a concentração de \mathrm{OH}^{-} fica cerca de 105 vezes menor após a adição de \,0{,}1\\ \mathrm{M} de \mathrm{NH}_{4}\mathrm{Cl}. Em termos percentuais, a nova concentração é aproximadamente 0{,}95\% da original (ou seja, diminuiu ~99,05%).

Resposta

[\mathrm{OH}^{-}]_{\text{sem sal}} \approx 9{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/L}\n
A concentração de \mathrm{OH}^{-} diminui por um fator de aproximadamente 105 (ou seja, fica ~105 vezes menor)

Exercícios relacionados