Concentração de Medicamento: A concentração de um remédio no sangue é
. Calcule:
- O que acontece com o remédio após muito tempo?
Passo 1
O enunciado dá a concentração do remédio no sangue como a função
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Interpretar o que acontece com o remédio após muito tempo (isto é, o significado físico do limite).
Informações relevantes fornecidas: a expressão analítica de
para tempo
(assumo
, embora o limite seja para
).
Passo 2
Ideia matemática principal (explicação didática): quando queremos o comportamento de uma função racional (uma fração de polinômios) quando
, uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador. Outro ponto importante: para
temos
Usaremos essas observações e a propriedade de que, se
e
com
, então
.
Passo 3
Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por
(a maior potência presente no denominador):
Aqui apenas rewritei a fração de forma que apareçam termos com
e
, cujos limites conheço (são zero).
Passo 4
Agora tomo o limite usando que
e
:
Portanto o limite é
.
Passo 5
Uma observação útil para entender a velocidade de decaimento: podemos verificar o comportamento assintótico multiplicando por
:
Isto mostra que, para
grande,
se comporta como
. Em palavras simples: a concentração cai para zero com uma lei do tipo
(decai polinomialmente), não exponencialmente — ou seja, tem uma cauda lenta.
Passo 6
Interpretação física (didática e prática): como
, a concentração do remédio no sangue tende a
mg/L quando
fica muito grande. Isso significa que, segundo este modelo, o remédio é eliminado do organismo ao longo do tempo e, após tempo suficientemente grande, não há concentração detectável (ou a concentração é negligenciável). Não podemos, a partir do limite, dizer quanto tempo exato isso leva — apenas que, em longo prazo, a concentração se aproxima de zero; a velocidade é do tipo
.
Resposta
O remédio é eliminado: a concentração tende a
mg/L, ou seja, após muito tempo não há medicamento detectável (decai aproximadamente como
).