Concentração de Medicamento: A concentração de um remédio no sangue é C(t)=\frac{5 t}{t^{2}+1} \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Calcule:
\lim _{t \rightarrow \infty} C(t) - O que acontece com o remédio após muito tempo?

Passo 1

O enunciado dá a concentração do remédio no sangue como a função
C(t)=\frac{5t}{t^{2}+1}\\ \text{mg/L}
e pede duas coisas:
  1. Calcular \lim_{t\to\infty} C(t).
  2. Interpretar o que acontece com o remédio após muito tempo (isto é, o significado físico do limite).
Informações relevantes fornecidas: a expressão analítica de C(t) para tempo t (assumo t\ge0, embora o limite seja para t\to\infty).

Passo 2

Ideia matemática principal (explicação didática): quando queremos o comportamento de uma função racional (uma fração de polinômios) quando t\to\infty, uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de t que aparece no denominador. Outro ponto importante: para t\to\infty temos
\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}=0\quad\text{e}\quad \lim_{t\to\infty}\frac{1}{t^{2}}=0.
Usaremos essas observações e a propriedade de que, se \lim_{t\to\infty} f(t)=A e \lim_{t\to\infty} g(t)=B com B\neq0, então \lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{g(t)}=\frac{A}{B}.

Passo 3

Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por t^{2} (a maior potência presente no denominador):
C(t)=\frac{5t}{t^{2}+1} =\frac{\dfrac{5t}{t^{2}}}{\dfrac{t^{2}+1}{t^{2}}} =\frac{\dfrac{5}{t}}{1+\dfrac{1}{t^{2}}}.
Aqui apenas rewritei a fração de forma que apareçam termos com \tfrac{1}{t} e \tfrac{1}{t^{2}}, cujos limites conheço (são zero).

Passo 4

Agora tomo o limite usando que \lim_{t\to\infty}\tfrac{1}{t}=0 e \lim_{t\to\infty}\tfrac{1}{t^{2}}=0:
\lim_{t\to\infty} C(t) =\lim_{t\to\infty}\frac{\dfrac{5}{t}}{1+\dfrac{1}{t^{2}}} =\frac{\,\lim_{t\to\infty}\dfrac{5}{t}\,}{\,\lim_{t\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{t^{2}}\right)\,} =\frac{0}{1+0}=0.
Portanto o limite é 0.

Passo 5

Uma observação útil para entender a velocidade de decaimento: podemos verificar o comportamento assintótico multiplicando por t:
\lim_{t\to\infty} t\,C(t) =\lim_{t\to\infty}\frac{5t^{2}}{t^{2}+1} =5.
Isto mostra que, para t grande, C(t) se comporta como \dfrac{5}{t}. Em palavras simples: a concentração cai para zero com uma lei do tipo 1/t (decai polinomialmente), não exponencialmente — ou seja, tem uma cauda lenta.

Passo 6

Interpretação física (didática e prática): como \lim_{t\to\infty} C(t)=0, a concentração do remédio no sangue tende a 0 mg/L quando t fica muito grande. Isso significa que, segundo este modelo, o remédio é eliminado do organismo ao longo do tempo e, após tempo suficientemente grande, não há concentração detectável (ou a concentração é negligenciável). Não podemos, a partir do limite, dizer quanto tempo exato isso leva — apenas que, em longo prazo, a concentração se aproxima de zero; a velocidade é do tipo \sim 5/t.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty} C(t)=0
O remédio é eliminado: a concentração tende a 0 mg/L, ou seja, após muito tempo não há medicamento detectável (decai aproximadamente como \tfrac{5}{t}).

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