Concentração de Medicamento: A concentração de um remédio no sangue é C(t)=\frac{5 t}{t^{2}+1} \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Calcule:
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} C(t) - Qual a concentração inicial?

Passo 1

O enunciado dá a concentração do remédio no sangue como C(t)=\dfrac{5t}{t^{2}+1} em unidades de \text{mg/L} e pede o valor
\lim_{t\to 0^{+}} C(t).
Pergunta explícita: qual é a concentração inicial (isto é, o limite quando t se aproxima de 0 pela direita)?
Informações relevantes dadas:
  • A função é C(t)=\dfrac{5t}{t^{2}+1}.
  • Queremos o limite quando t tende a 0 pela direita ( t\to 0^{+}).
  • A unidade é \text{mg/L}.

Passo 2

O que é um limite pela direita? Informalmente, \lim_{t\to 0^{+}} C(t)=L significa que, se pegarmos valores de t positivos cada vez mais próximos de 0, os valores de C(t) ficam cada vez mais próximos de L. Na prática de prova, usamos regras de limites: se o limite do numerador e o limite do denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero, então
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}} = \frac{\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}}\text{numerador}}{\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}}\text{denominador}}.
Vamos aplicar essa regra ao nosso caso.

Passo 3

Calcule o limite do numerador. O numerador é 5t. Pelo fato de 5 ser constante e t tender a 0,
\lim_{t\to 0^{+}} 5t = 5\cdot\lim_{t\to 0^{+}} t = 5\cdot 0 = 0.
Comentário didático: usamos a propriedade de fator constante do limite — constante pode sair do limite — e que \lim_{t\to 0} t = 0.

Passo 4

Calcule o limite do denominador. O denominador é t^{2}+1. Polinômios são funções contínuas, então podemos simplesmente substituir t=0:
\lim_{t\to 0^{+}} (t^{2}+1) = 0^{2}+1 = 1.
Observação: o limite do denominador é 1, que é diferente de zero, então a regra do quociente é aplicável.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente dos limites:
\lim_{t\to 0^{+}} C(t) = \lim_{t\to 0^{+}} \frac{5t}{t^{2}+1} = \frac{\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}} 5t}{\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}} (t^{2}+1)} = \frac{0}{1}=0.
Portanto o limite é 0.

Passo 6

Verificação direta: a função está definida em t=0 e C(0)=\dfrac{5\cdot 0}{0^{2}+1}=0. Como o limite quando t\to 0^{+} é igual ao valor da função em 0, a função é contínua em t=0. Interpretando fisicamente, a concentração inicial (no instante t=0) é 0\\ \text{mg/L}.

Passo 7

Um pequeno exemplo numérico para intuição: se t=0{,}01 então
C(0{,}01)=\frac{5\cdot 0{,}01}{0{,}01^{2}+1}=\frac{0{,}05}{1{,}0001}\approx 0{,}049995\\ \text{mg/L},
que é muito próximo de 0, confirmando o resultado do limite. Dica para prova: sempre verifique que o denominador não zera no ponto; se não zerar, basta usar substituição direta ou as propriedades básicas de limites.

Resposta

\,0\\ \text{mg/L}

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