Crescimento Bacteriano: A população de bactérias é dada por P(t)=\frac{1000 t}{t+1}, onde t é o tempo em horas. Calcule:
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} P(t) - Qual é a população inicial?

Passo 1

O enunciado dá a população de bactérias por P(t)=\dfrac{1000\,t}{t+1}, onde t é o tempo em horas. Pergunta-se o valor de
\lim_{t\to 0^{+}} P(t)
ou seja, qual é a população inicial (o valor de P quando o tempo tende a zero pela direita). Informações relevantes: a fórmula de P(t) e que estamos tomando o limite quando t se aproxima de 0 por valores positivos.

Passo 2

O que significa \lim_{t\to 0^{+}}P(t)? Significa olhar para os valores de P(t) quando t fica cada vez mais próximo de 0 vindo do lado positivo (por exemplo t=0{,}1,0{,}01,\dots) e ver qual número esses valores se aproximam. Se a função for contínua em t=0, então esse limite é simplesmente o valor da função em t=0.
Vamos verificar se podemos avaliar a função em t=0. Substituindo t=0 em P(t) obtemos
P(0)=\frac{1000\cdot 0}{0+1}.
Calcule passo a passo: o numerador 1000\cdot 0 é 0; o denominador 0+1 é 1.

Passo 3

Com os cálculos do passo anterior, temos
P(0)=\frac{0}{1}=0.
Como o denominador não é zero ( 1\neq 0), a função é bem definida em t=0 e é contínua ali (racional com denominador não nulo). Portanto o limite pela direita coincide com o valor em 0.

Passo 4

Outra forma de ver: escrevendo
P(t)=1000\cdot\frac{t}{t+1},
quando t\to 0^{+} temos t\to 0 e t+1\to 1, então \dfrac{t}{t+1}\to 0 e, multiplicando por 1000, obtemos limite 0. Isso confirma o resultado do cálculo direto.

Passo 5

Interpretação física e incentivo: o modelo dado indica que, no instante inicial t=0, a população prevista por essa fórmula é zero bactérias. Pode parecer estranho (normal ficar inseguro), mas matematicamente é isso que a expressão dita. Se o professor quisesse um valor positivo inicial, o modelo teria outro termo constante somado.

Resposta

0 bactérias

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