Crescimento Bacteriano: A população de bactérias é dada por
, onde
é o tempo em horas. Calcule:
- Qual é a população inicial?
Passo 1
O enunciado dá a população de bactérias por
, onde
é o tempo em horas. Pergunta-se o valor de
ou seja, qual é a população inicial (o valor de
quando o tempo tende a zero pela direita). Informações relevantes: a fórmula de
e que estamos tomando o limite quando
se aproxima de
por valores positivos.
Passo 2
O que significa
? Significa olhar para os valores de
quando
fica cada vez mais próximo de
vindo do lado positivo (por exemplo
) e ver qual número esses valores se aproximam. Se a função for contínua em
, então esse limite é simplesmente o valor da função em
.
Vamos verificar se podemos avaliar a função em . Substituindo
em
obtemos
Vamos verificar se podemos avaliar a função em
Calcule passo a passo: o numerador
é
; o denominador
é
.
Passo 3
Com os cálculos do passo anterior, temos
Como o denominador não é zero (
), a função é bem definida em
e é contínua ali (racional com denominador não nulo). Portanto o limite pela direita coincide com o valor em
.
Passo 4
Outra forma de ver: escrevendo
quando
temos
e
, então
e, multiplicando por
, obtemos limite
. Isso confirma o resultado do cálculo direto.
Passo 5
Interpretação física e incentivo: o modelo dado indica que, no instante inicial
, a população prevista por essa fórmula é zero bactérias. Pode parecer estranho (normal ficar inseguro), mas matematicamente é isso que a expressão dita. Se o professor quisesse um valor positivo inicial, o modelo teria outro termo constante somado.