Velocidade Instantânea: A posição de uma partícula é
metros. Calcule a velocidade instantânea em
usando:
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo
pela expressão
e pede para calcular a velocidade instantânea em
usando a definição
Aqui
é um pequeno incremento de tempo; o quociente
representa a velocidade média no intervalo de tempo
e a definição toma o limite quando
vai a zero para obter a velocidade instantânea. Nada mais é pedido além de avaliar esse limite.
Passo 2
Primeiro calculamos
e
substituindo na fórmula dada.
Calcule
:
Calcule
. Expandimos
e distribuímos:
Passo 3
Agora montamos o quociente diferencial e simplificamos passo a passo.
Substituindo os valores encontrados na expressão do limite:
Fatorando
no numerador para simplificar:
Explicação didática: aqui usamos que
é comum aos dois termos do numerador, então podemos fatorá-lo e cancelar com o
do denominador. Esse é um truque padrão para remover a indeterminação do tipo
.
Passo 4
Agora aplicamos o limite quando
tende a zero. Sabemos que o limite da soma é a soma dos limites e que
, portanto
Assim obtemos
Interpretação e verificação extra (útil na prova): a operação que fizemos é exatamente o cálculo da derivada de
. Se preferir ver de outro jeito, derivando
por regras básicas:
, então
— mesmo resultado. Fisicamente, a velocidade instantânea em
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Vai dar certo na sua prova — bom estudo!