Velocidade Instantânea: A posição de uma partícula é s(t)=t^{2}+2 t metros. Calcule a velocidade instantânea em t=2 usando:
v(2)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{s(2+h)-s(2)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo t pela expressão
s(t)=t^{2}+2t\quad\text{(metros)}
e pede para calcular a velocidade instantânea em t=2 usando a definição
v(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{s(2+h)-s(2)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento de tempo; o quociente \dfrac{s(2+h)-s(2)}{h} representa a velocidade média no intervalo de tempo [2,\,2+h] e a definição toma o limite quando h vai a zero para obter a velocidade instantânea. Nada mais é pedido além de avaliar esse limite.

Passo 2

Primeiro calculamos s(2) e s(2+h) substituindo na fórmula dada.
Calcule s(2):
s(2)=2^{2}+2\cdot 2=4+4=8.
Calcule s(2+h). Expandimos (2+h)^{2} e distribuímos:
s(2+h)=(2+h)^{2}+2(2+h)=\bigl(4+4h+h^{2}\bigr)+\bigl(4+2h\bigr)=8+6h+h^{2}.

Passo 3

Agora montamos o quociente diferencial e simplificamos passo a passo.
Substituindo os valores encontrados na expressão do limite:
\frac{s(2+h)-s(2)}{h}=\frac{(8+6h+h^{2})-8}{h}=\frac{6h+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador para simplificar:
\frac{6h+h^{2}}{h}=\frac{h(6+h)}{h}=6+h\quad\text{(para }h\neq 0\text{)}.
Explicação didática: aqui usamos que h é comum aos dois termos do numerador, então podemos fatorá-lo e cancelar com o h do denominador. Esse é um truque padrão para remover a indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando h tende a zero. Sabemos que o limite da soma é a soma dos limites e que \lim_{h\to 0}h=0, portanto
\lim_{h\rightarrow 0}(6+h)=6+0=6.
Assim obtemos
v(2)=6.
Interpretação e verificação extra (útil na prova): a operação que fizemos é exatamente o cálculo da derivada de s(t). Se preferir ver de outro jeito, derivando s(t) por regras básicas: s'(t)=2t+2, então s'(2)=2\cdot 2+2=6 — mesmo resultado. Fisicamente, a velocidade instantânea em t=2 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de s(t) em t=2.
Vai dar certo na sua prova — bom estudo!

Resposta

\;6\\ \text{m/s}

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