- A concentração de um medicamento na corrente sanguínea é afetada pela dosagem e pelo metabolismo do paciente. Suponha que um paciente tenha 5L de sangue e que o medicamento seja administrado a uma taxa constante de
. Suponha ainda que seu corpo elimine uma quantidade do medicamento a uma taxa instantânea (em g/h) proporcional à quantidade total (em g) do medicamento em sua corrente sanguínea nesse instante, com constante de proporcionalidade igual a 0,8 .
Denote por
e
, respectivamente, a massa (em g) e a concentração (em g/L) do medicamento na corrente sanguínea no instante
(em h desde o início do tratamento).
a) Escreva
em termos de
.
b) Em um determinado instante, a concentração do medicamento é de
. Qual é a taxa de variação da concentração nesse instante?
c) A concentração de equilíbrio é alcançada no instante
tal que
. Qual é a concentração de equilíbrio?
a) Escreva
b) Em um determinado instante, a concentração do medicamento é de
c) A concentração de equilíbrio é alcançada no instante
Passo 1
O enunciado trata de modelar a massa
de um medicamento no corpo, administrado a uma taxa constante de
e eliminado a uma taxa proporcional a
com constante
. A concentração
em
está relacionada por
, pois o paciente tem
de sangue. Para resolver, usaremos a equação diferencial linear que combina taxa de entrada e eliminação proporcional.
Passo 2
A variação instantânea da massa
é a diferença entre taxa de administração e taxa de eliminação proporcional:
Passo 3
Como
, temos
. Diferenciando,
. Substituindo
:
Passo 4
Quando a concentração é
, a taxa de variação é
Passo 5
A concentração de equilíbrio
satisfaz
, logo
Resposta
a)
.
b) quando
.
c)
b)
c)