1. A concentração de um medicamento na corrente sanguínea é afetada pela dosagem e pelo metabolismo do paciente. Suponha que um paciente tenha 5L de sangue e que o medicamento seja administrado a uma taxa constante de 0,3 g / h. Suponha ainda que seu corpo elimine uma quantidade do medicamento a uma taxa instantânea (em g/h) proporcional à quantidade total (em g) do medicamento em sua corrente sanguínea nesse instante, com constante de proporcionalidade igual a 0,8 .
Denote por M(t) e C(t), respectivamente, a massa (em g) e a concentração (em g/L) do medicamento na corrente sanguínea no instante t (em h desde o início do tratamento).
a) Escreva M^prime em termos de M.
b) Em um determinado instante, a concentração do medicamento é de 0,04 g / L. Qual é a taxa de variação da concentração nesse instante?
c) A concentração de equilíbrio é alcançada no instante t0 tal que C^prime(t0)=0. Qual é a concentração de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado trata de modelar a massa M(t) de um medicamento no corpo, administrado a uma taxa constante de 0,3 g/h e eliminado a uma taxa proporcional a M com constante 0,8 h^-1. A concentração C(t) em g/L está relacionada por C(t)=M(t)/5, pois o paciente tem 5 L de sangue. Para resolver, usaremos a equação diferencial linear que combina taxa de entrada e eliminação proporcional.

Passo 2

A variação instantânea da massa M é a diferença entre taxa de administração e taxa de eliminação proporcional:
M' = 0,3 - 0,8,M

Passo 3

Como C = M/5, temos M = 5,C. Diferenciando, C' = M'/5. Substituindo M':
C' = 0,3 - 0,8,(5,C)5 = 0,3 - 4,C5 = 0,06 - 0,8,C

Passo 4

Quando a concentração é C=0,04 g/L, a taxa de variação é
C' = 0,06 - 0,8cdot0,04 = 0,06 - 0,032 = 0,028 g/(Lcdot h)

Passo 5

A concentração de equilíbrio Crm eq satisfaz C'=0, logo
0 = 0,06 - 0,8,Crm eq Longrightarrow Crm eq = 0,060,8 = 0,075 g/L

Resposta

a) M' = 0,3 - 0,8,M.
b) C' = 0,028 g/(Lcdot h) quando C=0,04 g/L.
c) Crm eq = 0,075 g/L

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