A concentração C(t) em miligramas por centímetros cúbicos (mg / cm^3) de um medicamento no sangue de um paciente é 0,5 mg / cm^3 imediatamente após uma injeção; t minutos depois, está diminuindo a uma taxa de C^prime(t)=-0,01 e^0,01 cdot t(e^0,01 cdot t+1)^2, mg / cm^3, por
minuto. Uma nova injeção é administrativa quando a concentração cai abaixo de 0,5 mg / cm^3.
Escreva uma expressão para C(t)?

Passo 1

O exercício pede determinar a função concentração C(t) em mg/cm³ sabendo que imediatamente após a injeção C(0)=0,5 e que a taxa de variação é dada por C’(t)=−0,01 e^{0,01 t}/(e^{0,01 t}+1)², ou seja, precisamos integrar essa derivada e usar a condição inicial.

Passo 2

Note que
ddtl(1e^0.01 t+1r) = -0.01,e^0.01 t(e^0.01 t+1)^2
que coincide com C’(t). Logo, uma primitiva de C’(t) é
C(t)=1e^0.01 t+1+K

Passo 3

Para encontrar K, usamos C(0)=0,5. Em t=0 temos 1/(e^0+1)=1/2, então
0,5 = 12 + K implies K=0
Portanto, não há termo constante extra.

Resposta

C(t)=1e^0.01t+1

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