Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.
f(x)=x arg cotgh x^2

Passo 1

Na questão, temos a função f(x)=x,arccotgh(x^2). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada da função inversa hiperbólica arccotgh(u).

Passo 2

Definimos u(x)=x e v(x)=arccotgh(x^2). Pela regra do produto, temos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos primeiro u'(x)=1. Para v'(x), usamos a regra da cadeia e a derivada de y=arccotgh(u), que satisfaz
dydu=11-u^2
Aqui u=x^2, logo u'=2x e 1-u^2=1-(x^2)^2=1-x^4. Assim
v'(x)=2x1-x^4

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=1cdotarccotgh(x^2)+xcdot2x1-x^4
e simplificando obtemos
f'(x)=arccotgh(x^2)+2x^21-x^4

Resposta

f’(x)=\operatorname{arccotgh}(x2)+\frac{2x2}{1-x^4}

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