A concentração
em miligramas por centímetros cúbicos
de um medicamento no sangue de um paciente é 0,5
imediatamente após uma injeção; t minutos depois, está diminuindo a uma taxa de
, por
minuto. Uma nova injeção é administrativa quando a concentração cai abaixo de
.
Determine o tempo transcorrido até que se torne necessário administrar uma nova injeção.
minuto. Uma nova injeção é administrativa quando a concentração cai abaixo de
Determine o tempo transcorrido até que se torne necessário administrar uma nova injeção.
Passo 1
O enunciado diz que a concentração no sangue satisfaz a derivada
em mg/cm³⋅min e que imediatamente após a injeção
mg/cm³. É um problema de integrar uma equação diferencial para achar
e depois determinar quando
cai para 0,5 mg/cm³.
Passo 2
Para encontrar
, integramos
:
Passo 3
Fazendo a substituição
, temos
. Então
Passo 4
Usamos a condição inicial
:
Passo 5
Portanto
Passo 6
Para achar quando
atinge 0,5 mg/cm³, resolvemos
Passo 7
Isso dá
Passo 8
Ou seja, a concentração cai abaixo de 0,5 imediatamente após t>0.
Resposta
t = 0 minutos (isto é, a concentração fica abaixo de 0,5 mg/cm³ imediatamente).