A concentração C(t) em miligramas por centímetros cúbicos (mg / cm^3) de um medicamento no sangue de um paciente é 0,5 mg / cm^3 imediatamente após uma injeção; t minutos depois, está diminuindo a uma taxa de C^prime(t)=-0,01 e^0,01 cdot t(e^0,01 cdot t+1)^2, mg / cm^3, por
minuto. Uma nova injeção é administrativa quando a concentração cai abaixo de 0,5 mg / cm^3.
Determine o tempo transcorrido até que se torne necessário administrar uma nova injeção.

Passo 1

O enunciado diz que a concentração no sangue satisfaz a derivada C'(t)=-0,01e^0,01t(e^0,01t+1)^2 em mg/cm³⋅min e que imediatamente após a injeção C(0)=0,5 mg/cm³. É um problema de integrar uma equação diferencial para achar C(t) e depois determinar quando C(t) cai para 0,5 mg/cm³.

Passo 2

Para encontrar C(t), integramos C'(t):
C(t)=integral -0,01e^0,01t(e^0,01t+1)^2,dt

Passo 3

Fazendo a substituição u=e^0,01t+1, temos du=0,01e^0,01tdt. Então
C(t)=integral -duu^2=1u+K=1e^0,01t+1+K

Passo 4

Usamos a condição inicial C(0)=0,5:
0,5=1e^0+1+K=12+Kimplies K=0

Passo 5

Portanto
C(t)=1e^0,01t+1

Passo 6

Para achar quando C(t) atinge 0,5 mg/cm³, resolvemos
1e^0,01t+1=0,5

Passo 7

Isso dá
e^0,01t+1=2implies e^0,01t=1implies 0,01t=0implies t=0

Passo 8

Ou seja, a concentração cai abaixo de 0,5 imediatamente após t>0.

Resposta

t = 0 minutos (isto é, a concentração fica abaixo de 0,5 mg/cm³ imediatamente).

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