Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de
f(x)=tfrac12l[arccotgh(x^2)r]^2
Esse problema envolve Regra da Cadeia e a derivada da função inversa hiperbólica arccotghu.

Passo 2

Definimos g(x)=arccotgh(x^2), de modo que f(x)=tfrac12[g(x)]^2. Pela Regra da Cadeia e derivada de potência temos
f'(x)=tfrac12cdot2,g(x)cdot g'(x)=g(x),g'(x)

Passo 3

Agora precisamos de g'(x). Sabendo que ddul[arccotghur]=11-u^2, aplicamos Cadeia de novo com u=x^2:
g'(x)=ddxl[arccotgh(x^2)r]=(x^2)'1-(x^2)^2=2x1-x^4

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x)=g(x),g'(x) obtemos:
f'(x)=arccotgh(x^2)cdot2x1-x^4

Passo 5

Podemos deixar a resposta final bem arrumada:
f'(x)=2x,arccotgh(x^2)1-x^4

Resposta

f'(x)=2x,arccotgh(x^2)1-x^4.

Exercícios relacionados