Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.

Passo 1

A gente tem a função f(x)=(3x^2+6x)^10-1x^2. O conteúdo aqui é derivada de potência composta (regra da cadeia) e derivada de uma potência x^n. Vamos usar também que 1x^2=x^-2 para facilitar.

Passo 2

Para a primeira parcela, defino u(x)=3x^2+6x e escrevo f1(x)=u(x)^10. Pela regra da cadeia:
f1'(x)=10,u(x)^9cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculo u'(x):
u'(x)=ddx(3x^2+6x)=6x+6

Passo 4

Logo,
f1'(x)=10,(3x^2+6x)^9,(6x+6)

Passo 5

Para a segunda parcela, escrevo f2(x)=-x^-2. Pela regra de potência:
f2'(x)=-2,x^-3=2,x^-3

Passo 6

Somando as duas derivadas e simplificando 6x+6=6(x+1):
f'(x)=10,(3x^2+6x)^9,(6x+6)+2x^-3=60,(x+1),(3x^2+6x)^9+2x^3

Passo 7

Usei um software algébrico para conferir e o resultado bate certinho.

Resposta

f'(x)=60,(x+1),(3x^2+6x)^9+dfrac2x^3

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