A concentração de um produto ao longo de uma coluna de destilação varia com a altura z e o tempo t, modelada por:
C(z, t)=C_{0} e^{-a z} \cdot \operatorname{sen}(b t)
Onde C_{0}, a, b>0 são constantes.
Descreva como seriam as curvas de nível da função C(z, t).

Passo 1

O enunciado dá a função
C(z,t)=C_{0}e^{-a z}\cdot \operatorname{sen}(b t),
com C_{0}>0, a>0, b>0. Pede-se: descrever como seriam as curvas de nível da função C(z,t), ou seja, os conjuntos de pontos (z,t) que satisfazem C(z,t)=k para uma constante real k.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é produto de uma amplitude dependente de z, C_{0}e^{-a z}, e de uma oscilação no tempo, \operatorname{sen}(b t).
  • Como é física (altura de coluna), é natural tomar z\ge 0 e t\in\mathbb{R}, mas a dedução matemática vale para z\in\mathbb{R} também; quando for útil, indicarei explicitamente a restrição z\ge0.
  • O conjunto pedido para cada nível é \{(z,t)\mid C(z,t)=k\}, com k\in\mathbb{R}.

Passo 2

Escrever a equação de nível e manipular algebricamente.
A condição de nível C(z,t)=k
C_{0}e^{-a z}\operatorname{sen}(b t)=k.
Isolando a função trigonométrica:
\operatorname{sen}(b t)=\frac{k}{C_{0}e^{-a z}}=\frac{k}{C_{0}}e^{a z}.
Essa expressão já mostra duas coisas importantes:
  • O lado direito depende só de z; portanto, para cada z fixo (que satisfaça a desigualdade abaixo), existirão valores de t (infinitos, pela periodicidade) que cumprem a equação.
  • Para que exista solução real em t é necessário que o módulo do lado direito não ultrapasse 1.

Passo 3

Determinar a condição de existência de soluções (domínio dos níveis) e obter o limite superior em z.
A condição de existência é
\left|\frac{k}{C_{0}}e^{a z}\right|\le 1.
Isso é equivalente a
e^{a z}\le\frac{C_{0}}{|k|}\quad\text{(quando }k\neq0\text{)}.
Tomando logaritmo (lembre: a>0), obtém-se um limite para z:
z\le z_{\max}(k):=\frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{C_{0}}{|k|}\right).
Observações imediatas:
  • Se |k|>C_{0} então \ln(C_{0}/|k|)<0 e, se considerarmos z\ge0, pode não existir z que satisfaça; de modo geral, para |k|>C_{0} não há solução alguma (nenhuma curva de nível), porque a amplitude máxima em z onde e^{-a z} é máxima (geralmente em z pequeno ou z\to -\infty se permitido) é C_{0}.
  • Para k=0 a condição fica \operatorname{sen}(bt)=0, que não impõe restrição em z (qualquer z serve).

Passo 4

Resolver explicitamente para t (as famílias de curvas), usando a periodicidade do seno.
Quando existe solução (isto é, quando |(k/C_{0})e^{a z}|\le1), escrevemos
\operatorname{sen}(b t)=\frac{k}{C_{0}}e^{a z}.
As soluções em t são, pela função arco-seno e pela periodicidade do seno,
t(z)=\frac{1}{b}\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{k}{C_{0}}e^{a z}\right)+\frac{2\pi n}{b},
ou
t(z)=\frac{1}{b}\Big(\pi-\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{k}{C_{0}}e^{a z}\right)\Big)+\frac{2\pi n}{b},
com n\in\mathbb{Z}. Essas duas formas correspondem aos dois ramos do seno dentro de cada período.
Interpretação prática: para cada inteiro n e para cada z tal que z\le z_{\max}(k), há dois valores de t em cada período 2\pi/b dados pelas fórmulas acima. Se \frac{k}{C_{0}}e^{a z} atinge os valores limite \pm1, então as duas fórmulas coincidem (ponto de tangência).

Passo 5

Descrever geometricamente como são as curvas de nível no plano (z,t).
Resumo geométrico e visual (imagine o plano vertical com eixo z horizontalmente limitado para cima por z_{\max}, e tempo t no eixo horizontal periódico):
  • Para k=0: as curvas de nível são linhas horizontais (no plano z- t) dadas por
    t=\frac{n\pi}{b},\quad n\in\mathbb{Z},
    válidas para todo z. Portanto, são linhas horizontais igualmente espaçadas (uma a cada meio-período).
  • Para 0<|k|\le C_{0}: as curvas de nível existem apenas para z\le z_{\max}(k)=\dfrac{1}{a}\ln\!\left(\dfrac{C_{0}}{|k|}\right). Para cada n\in\mathbb{Z} há duas “ramificações” por período 2\pi/b, definidas por t(z) nas fórmulas do Passo 4. Geometricamente:
    • Para z\to -\infty (ou para z muito pequeno se considerarmos z\ge0), o argumento do \operatorname{arcsen} tende a 0, então as duas ramificações ficam próximas de t\approx 2\pi n/b e t\approx \pi/b+2\pi n/b.
    • À medida que z aumenta, o argumento cresce exponencialmente até atingir 1 em z=z_{\max}(k). Nesse ponto as duas ramificações se juntam (porque \operatorname{arcsen}(1)=\pi/2), formando um ponto terminal localizado em z=z_{\max}(k),\qquad t=\frac{1}{b}\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right).
    • Assim cada curva de nível para k\neq0 parece uma série de “arcos” (duas ramificações por período) que, ao subir em z, convergem e terminam no limite z_{\max}(k). Em z menores essas arcos “abrem-se” aproximando-se das linhas t=2\pi n/b e t=\pi/b+2\pi n/b.
  • Para |k|>C_{0}: não há solução, logo não existem curvas de nível (a concentração pedida nunca atinge esse valor em nenhum ponto).
  • Caso particular de |k|=C_{0}: então z_{\max}=0. As curvas de nível só existem para z\le0; em z=0 aparece o ponto(s)
    z=0,\qquad t=\frac{1}{b}\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)
    (ou para k=-C_{0} os pontos com \operatorname{arcsen}(-1)=-\pi/2, ou seja t=( -\pi/2 + 2\pi n)/b). Se se impõe z\ge0, então |k|=C_{0} só tem pontos quando z=0.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a imagem (apenas para intuir o formato).
Escolha C_{0}=1, a=1, b=1 e k=0{,}5. Então
z_{\max}=\ln\!\left(\frac{1}{0{,}5}\right)=\ln 2\approx0{,}693.
Para z entre -\infty e z_{\max} as curvas são dadas por
t=\operatorname{arcsen}\!\big(0{,}5 e^{z}\big)+2\pi n\quad\text{ou}\quad t=\pi-\operatorname{arcsen}\!\big(0{,}5 e^{z}\big)+2\pi n.
No gráfico, para cada n há dois ramos que saem próximos de t=2\pi n e t=\pi+2\pi n quando z é pequeno e unem-se num ponto em z\approx0{,}693 e t=\pi/2+2\pi n. Isso dá a imagem mental de “arcos” com topo em z_{\max}.

Passo 7

Como desenhar rapidamente no rascunho da prova (receita prática):
  1. Escolha o valor k. Se |k|>C_{0} escreva “sem nível” e acabou.
  2. Calcule z_{\max}(k)=\dfrac{1}{a}\ln\!\left(\dfrac{C_{0}}{|k|}\right).
  3. Trace linhas horizontais-guia em t=\dfrac{2\pi n}{b} e t=\dfrac{\pi+2\pi n}{b} (esses são os assíntotos horizontais para z\to -\infty ou z muito pequeno).
  4. Para cada período, desenhe dois arcos que partem próximos dessas linhas-guia para z pequeno e se encontram exatamente em z_{\max} no ponto t=(\pi/2+2\pi n)/b (ou no correspondente para k<0, com sinais trocados).
  5. Lembre-se: para k=0 as curvas são linhas horizontais em t=n\pi/b.

Resposta

As curvas de nível C(z,t)=k satisfazem
\operatorname{sen}(b t)=\frac{k}{C_{0}}e^{a z},
existindo soluções somente quando \left|\dfrac{k}{C_{0}}e^{a z}\right|\le1, ou seja para z\le z_{\max}(k)=\dfrac{1}{a}\ln\!\left(\dfrac{C_{0}}{|k|}\right) (se k\neq0). Para esses z as soluções são, com n\in\mathbb{Z},
t(z)=\frac{1}{b}\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{k}{C_{0}}e^{a z}\right)+\frac{2\pi n}{b} \quad\text{e}\quad t(z)=\frac{1}{b}\Big(\pi-\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{k}{C_{0}}e^{a z}\right)\Big)+\frac{2\pi n}{b}.
Especializações: se k=0 então t=\dfrac{n\pi}{b} (linhas horizontais para todo z); se |k|>C_{0} não há curvas de nível; geometricamente, para 0<|k|\le C_{0} as curvas são arcos periódicos em t que, ao subir em z, convergem e terminam no limite z=z_{\max}(k).

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