Esboce uma família de curvas nível (no mínimo 3) das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar uma família de curvas de nível (pelo menos 3) da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Curvas de nível são os conjuntos onde
constante. Ou seja, para cada constante temos a curva . - Há uma restrição implícita pelo radical: a expressão
exige , logo .
O que é pedido:
- Escolher várias constantes (pelo menos três) e esboçar as curvas de nível correspondentes, explicando o que cada uma é e como desenhar.
Passo 2
Escrever a equação da curva de nível para uma constante genérica
.
Partimos de
Isolando
,
Explicação didática: essa é a equação implícita da curva de nível associada ao valor
. A raiz quadrada dá sempre um número não negativo, portanto para qualquer
válido temos
. Também lembrando a restrição do radical, temos necessariamente
.
Passo 3
Transformar a equação para reconhecer a geometria da curva.
Tomando a equação
e elevando ao quadrado (com cuidado):
Rearranjando,
Atenção importante (explicação passo a passo): ao elevar ao quadrado podemos ter introduzido pontos que não satisfazem o sinal original da raiz. A equação quadrática acima descreve a circunferência de raio
centrada em
, mas a equação original exigia
. Portanto a curva de nível real é a interseção dessa circunferência com a meia-plano
. Em palavras simples: cada curva de nível é a semicircunferência “direita” (o semicírculo que fica à direita do centro) da circunferência de raio
centrada em
.
Passo 4
Parâmetros e pontos chave para esboçar.
Uma parametrização simples (útil para desenhar) é tomar um ângulo
e escrever
Com isso obtemos exatamente o semicírculo direito da circunferência centrada em
e raio
.
Pontos importantes da curva (valores fáceis de lembrar):
- para
(extremos verticais) temos , logo os extremos são ; - para
temos , logo o ponto mais à direita é .
Passo 5
Escolha de três curvas e descrição para esboço (exemplos concretos).
Escolhemos as constantes
. Para cada uma:
-
Para
: - A equação quadrática é
. - A curva de nível é o semicírculo direito dessa circunferência, ou seja os pontos com
. Extremidades: . Ponto mais à direita: .
- A equação quadrática é
-
Para
: - A equação quadrática é
. - A curva de nível é o semicírculo direito desta circunferência, com
. Extremidades: . Ponto mais à direita: .
- A equação quadrática é
-
Para
: - A equação quadrática é
. - A curva de nível é o semicírculo direito desta circunferência, com
. Extremidades: . Ponto mais à direita: .
- A equação quadrática é
Como esboçar no papel (passo a passo prático):
- Desenhar os eixos
e . - Marcar os centros das circunferências em
, , . - Em cada centro desenhar uma circunferência de raio
(ou apenas esboçar o semicírculo direito). - Para cada valor de
manter somente a metade da circunferência com (essa é a curva de nível). - Notar que as semicircunferências se tocam nos pontos
entre e , e em entre e .
Observação final e incentivo: o padrão geral é simples e bonito — cada nível é um semicírculo de raio
deslocado ao longo do eixo
pelo valor de
. Tente desenhar esses três semicírculos e verá um “cordão” de arcos deslocados; isso ajuda muito na prova!