Esboce uma família de curvas nível (no mínimo 3) das seguintes funções:
g(x, y)=x-\sqrt{1-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar uma família de curvas de nível (pelo menos 3) da função g(x,y)=x-\sqrt{1-y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é g(x,y)=x-\sqrt{1-y^{2}}.
  • Curvas de nível são os conjuntos onde g(x,y)= constante. Ou seja, para cada constante k temos a curva \{(x,y)\mid g(x,y)=k\}.
  • Há uma restrição implícita pelo radical: a expressão \sqrt{1-y^{2}} exige 1-y^{2}\ge 0, logo |y|\le 1.
O que é pedido:
  • Escolher várias constantes (pelo menos três) e esboçar as curvas de nível correspondentes, explicando o que cada uma é e como desenhar.

Passo 2

Escrever a equação da curva de nível para uma constante genérica k.
Partimos de
g(x,y)=k \quad\Longrightarrow\quad x-\sqrt{1-y^{2}}=k.
Isolando x,
x = k + \sqrt{1-y^{2}}.
Explicação didática: essa é a equação implícita da curva de nível associada ao valor k. A raiz quadrada dá sempre um número não negativo, portanto para qualquer y válido temos x\ge k. Também lembrando a restrição do radical, temos necessariamente |y|\le 1.

Passo 3

Transformar a equação para reconhecer a geometria da curva.
Tomando a equação x - k = \sqrt{1-y^{2}} e elevando ao quadrado (com cuidado):
(x-k)^{2} = 1 - y^{2}.
Rearranjando,
(x-k)^{2} + y^{2} = 1.
Atenção importante (explicação passo a passo): ao elevar ao quadrado podemos ter introduzido pontos que não satisfazem o sinal original da raiz. A equação quadrática acima descreve a circunferência de raio 1 centrada em (k,0), mas a equação original exigia \sqrt{1-y^{2}}=x-k\ge 0. Portanto a curva de nível real é a interseção dessa circunferência com a meia-plano x\ge k. Em palavras simples: cada curva de nível é a semicircunferência “direita” (o semicírculo que fica à direita do centro) da circunferência de raio 1 centrada em (k,0).

Passo 4

Parâmetros e pontos chave para esboçar.
Uma parametrização simples (útil para desenhar) é tomar um ângulo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e escrever
y=\sin\theta,\qquad x=k+\cos\theta.
Com isso obtemos exatamente o semicírculo direito da circunferência centrada em (k,0) e raio 1.
Pontos importantes da curva (valores fáceis de lembrar):
  • para y=\pm 1 (extremos verticais) temos \sqrt{1-y^{2}}=0, logo os extremos são (x,y)=(k,\pm 1);
  • para y=0 temos \sqrt{1-y^{2}}=1, logo o ponto mais à direita é (x,y)=(k+1,0).

Passo 5

Escolha de três curvas e descrição para esboço (exemplos concretos).
Escolhemos as constantes k=-1,\,0,\,1. Para cada uma:
  • Para k=-1:
    • A equação quadrática é (x+1)^{2}+y^{2}=1.
    • A curva de nível é o semicírculo direito dessa circunferência, ou seja os pontos com x\ge -1. Extremidades: (-1,\pm1). Ponto mais à direita: (0,0).
  • Para k=0:
    • A equação quadrática é x^{2}+y^{2}=1.
    • A curva de nível é o semicírculo direito desta circunferência, com x\ge 0. Extremidades: (0,\pm1). Ponto mais à direita: (1,0).
  • Para k=1:
    • A equação quadrática é (x-1)^{2}+y^{2}=1.
    • A curva de nível é o semicírculo direito desta circunferência, com x\ge 1. Extremidades: (1,\pm1). Ponto mais à direita: (2,0).
Como esboçar no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Marcar os centros das circunferências em (-1,0), (0,0), (1,0).
  3. Em cada centro desenhar uma circunferência de raio 1 (ou apenas esboçar o semicírculo direito).
  4. Para cada valor de k manter somente a metade da circunferência com x\ge k (essa é a curva de nível).
  5. Notar que as semicircunferências se tocam nos pontos (0,\pm1) entre k=-1 e k=0, e em (1,\pm1) entre k=0 e k=1.
Observação final e incentivo: o padrão geral é simples e bonito — cada nível é um semicírculo de raio 1 deslocado ao longo do eixo x pelo valor de k. Tente desenhar esses três semicírculos e verá um “cordão” de arcos deslocados; isso ajuda muito na prova!

Resposta

(x+1)^{2}+y^{2}=1,\quad x\ge -1
x^{2}+y^{2}=1,\quad x\ge 0
(x-1)^{2}+y^{2}=1,\quad x\ge 1

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