Seja r \in \mathbb{R}\), para funções de uma variável independentes, temos o seguinte limite fundamental
\[\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(r)}{r}=1
Utilize este limite para verificar se as funções dadas são contínuas no ponto ( 0,0 )
(f(x, y)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}]
Passo 1
O enunciado fornece o limite fundamental de uma variável
A definição de f para (x,y)\neq(0,0) usa a expressão \dfrac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
O valor atribuído em (0,0) é f(0,0)=1.
O limite unidimensional \lim_{r\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(r)}{r}=1 pode ser usado quando a variável que entra em \operatorname{sen} tende a 0.
O que precisamos mostrar: verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=1.]
Passo 2
Ideia principal (explicada com calma): a expressão que aparece em f depende apenas de t:=x^{2}+y^{2}, que é um número real não negativo. Quando (x,y)\to(0,0), temos t=x^{2}+y^{2}\to 0. Então o problema multivariável reduz-se a um problema unidimensional sobre t: estudar \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} quando t\to 0. Pelo limite fundamental dado, \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t}\to 1 quando t\to 0. Vou transformar essa ideia numa demonstração clara e rigorosa.
Passo 3
Argumento por sequência (intuitivo e simples): seja \bigl(x_n,y_n\bigr) uma sequência de pontos em \mathbb{R}^2 tal que \bigl(x_n,y_n\bigr)\to(0,0). Defina t_n:=x_n^{2}+y_n^{2}. Então t_n\ge 0 para todo n e t_n\to 0 pois x_n\to 0 e y_n\to 0. Pelo limite em uma variável, \dfrac{\operatorname{sen}(t_n)}{t_n}\to 1. Como f(x_n,y_n)=\dfrac{\operatorname{sen}(t_n)}{t_n} para n suficientemente grande (ou sempre que (x_n,y_n)\neq(0,0)), concluímos que f(x_n,y_n)\to 1. Como isso vale para qualquer sequência que converge para (0,0), o limite multivariável \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e vale 1.
Esse argumento já mostra que o limite de f em (0,0) é 1. Mas se quiseres uma forma mais formal (ε–δ), segue abaixo.
Passo 4
Demonstração ε–δ (rígida, passo a passo usando o limite unidimensional dado):
Tome \varepsilon>0 arbitrário. Pelo limite unidimensional \lim_{r\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(r)}{r}=1, existe \delta_1>0 tal que, para todo t com 0<|t|<\delta_1, vale
Como o valor definido em (0,0) é f(0,0)=1, obtemos que o limite coincide com o valor da função no ponto, portanto f é contínua em (0,0).
Passo 5
Comentário intuitivo e exemplo rápido para fixar a ideia: a razão \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} aproxima-se de 1 quando t é pequeno. No caso da função f, o argumento de \operatorname{sen} é exatamente a soma x^{2}+y^{2}, que mede o quadrado da distância ao ponto (0,0). Assim, quanto mais perto de (0,0), mais pequeno é x^{2}+y^{2} e mais a fração \dfrac{\operatorname{sen}(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} fica próxima de 1. Por exemplo, ao longo do eixo y=0 tem-se \dfrac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{2}}\to 1 quando x\to 0; o mesmo ocorre por qualquer direção — por isso a função é contínua no ponto.