A concentração de soluto em um meio com viscosidade
no fenômeno da dáfus ão unidimensional à temperatura
é dado por
onde
é o raio da molécula de soluto. Determine:
(a) A posição média do soluto.
(b) O deslocamento médio quadrático
.
(c) A média da posição elevada à terceira potência
.
(d) A média da posição elevada à quarta potência
.
(e) O desvio padrão da posição
.
(a) A posição média do soluto.
(b) O deslocamento médio quadrático
(c) A média da posição elevada à terceira potência
(d) A média da posição elevada à quarta potência
(e) O desvio padrão da posição
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade unidimensional do soluto em difusão
onde
é a viscosidade,
é o raio da partícula,
a temperatura e
a constante de Boltzmann.
Conteúdo: distribuição normal (Gaussiana) em . Queremos calcular os momentos
,
,
,
e o desvio padrão
.
Conteúdo: distribuição normal (Gaussiana) em
Passo 2
Reconhecemos que
é a forma padrão da Gaussiana com coeficiente de difusão
Dessa forma o momento de ordem
é
e os momentos ímpares são nulos por simetria.
Passo 3
Por simetria da Gaussiana em torno de
, todos os momentos ímpares são zero. Portanto
Passo 4
O segundo momento da distribuição é
O deslocamento médio quadrático (root mean square) é
Passo 5
Conforme mencionado, o terceiro momento é nulo por simetria:
Passo 6
Para uma Gaussiana centrada em zero vale
Passo 7
O desvio padrão é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)