A concentração de soluto em um meio com viscosidade eta no fenômeno da dáfus ão unidimensional à temperatura T é dado por
n(x, t)=raiz6 eta a4 kB T t exp (-6 pi eta a x^24 kB T)
onde a é o raio da molécula de soluto. Determine:
(a) A posição média do soluto.
(b) O deslocamento médio quadrático (raizlang<= x^2rang<=).
(c) A média da posição elevada à terceira potência lang<= x^3rang<=.
(d) A média da posição elevada à quarta potência lang<= x^4rang<=.
(e) O desvio padrão da posição sigma=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade unidimensional do soluto em difusão
n(x,t) =raiz6pieta a4kBT,t exp!l(-6pieta a,x^24kBT,tr),
onde eta é a viscosidade, a é o raio da partícula, T a temperatura e kB a constante de Boltzmann.
Conteúdo: distribuição normal (Gaussiana) em x. Queremos calcular os momentos lang<= xrang<=, raizlang<= x^2rang<=, lang<= x^3rang<=, lang<= x^4rang<= e o desvio padrão sigma.

Passo 2

Reconhecemos que
n(x,t) =1raiz4pi D,t exp!l(-x^24D,tr)
é a forma padrão da Gaussiana com coeficiente de difusão
D=kBT6pieta,a
Dessa forma o momento de ordem 2 é lang<= x^2rang<==2D,t e os momentos ímpares são nulos por simetria.

Passo 3

Por simetria da Gaussiana em torno de x=0, todos os momentos ímpares são zero. Portanto
lang<= xrang<= =0

Passo 4

O segundo momento da distribuição é
lang<= x^2rang<= =2D,t =2;kBT6pieta,a;t =kBT3pieta,a;t
O deslocamento médio quadrático (root mean square) é
raizlang<= x^2rang<= =raiz2D,t =raiz2,kBT6pieta,a;t =raizkBT,t3pieta,a

Passo 5

Conforme mencionado, o terceiro momento é nulo por simetria:
lang<= x^3rang<= =0

Passo 6

Para uma Gaussiana centrada em zero vale
lang<= x^4rang<= =3l(lang<= x^2rang<=r)^2 =3,(2D,t)^2 =12,D^2,t^2 =12;l(kBT6pieta,ar)^2,t^2

Passo 7

O desvio padrão é
sigma =raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =raizlang<= x^2rang<= =raiz2D,t =raizkBT,t3pieta,a

Resposta

(a) lang<= xrang<==0
(b) raizlang<= x^2rang<==raiz2D,t=raizdfrackBT,t3pieta,a
(c) lang<= x^3rang<==0
(d) lang<= x^4rang<==12,D^2,t^2=12l(dfrackBT6pieta,ar)^2t^2
(e) sigma=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2=raiz2D,t=raizdfrackBT,t3pieta,a

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