Considere um copo com água no qual é adicionado açucar concentrado em um ponto no fundo do copo. Estime o deslocamento médio quadrático, após decorridos 2 minutos, em uma direção para as moléculas de açúcar dissolvidas em água a
, cuja viscosidade é de
para uma molécula de açucar cujo diâmetro é da ordem de
.
Passo 1
O enunciado pede o deslocamento médio quadrático (RMS) em uma direção para moléculas de açúcar por efeito de movimento browniano, após
minutos em água a
. O conteúdo necessário é a relação de Einstein para difusão de uma esfera em fluido viscoso, que dá o coeficiente de difusão
, e a ligação entre
e o desvio quadrático médio em uma dimensão:
Passo 2
Aplicamos a fórmula de Einstein–Smoluchowski para uma partícula esférica de raio
em fluido de viscosidade
a temperatura
:
onde
é a constante de Boltzmann.
Passo 3
Definimos as grandezas em unidades cgs:
,
diâmetro da molécula ,
,
.
Substituindo em
diâmetro da molécula
Substituindo em
Passo 4
Agora calculamos o desvio quadrático médio em uma dimensão para
min
:
e o RMS é
Passo 5
Interpretando o resultado, o deslocamento médio quadrático em uma direção após 2 minutos é da ordem de
cm, ou seja, algumas micrômetros.
Resposta
O deslocamento RMS em uma direção é aproximadamente
(≈ 9 μm).