Considere um copo com água no qual é adicionado açucar concentrado em um ponto no fundo do copo. Estime o deslocamento médio quadrático, após decorridos 2 minutos, em uma direção para as moléculas de açúcar dissolvidas em água a 17^circ C, cuja viscosidade é de 0,0135 g / cm cdot s para uma molécula de açucar cujo diâmetro é da ordem de 10^-4 cm.

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento médio quadrático (RMS) em uma direção para moléculas de açúcar por efeito de movimento browniano, após t=2 minutos em água a 17^circC. O conteúdo necessário é a relação de Einstein para difusão de uma esfera em fluido viscoso, que dá o coeficiente de difusão D, e a ligação entre D e o desvio quadrático médio em uma dimensão:
lang<= x^2rang<= = 2,D,t

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Einstein–Smoluchowski para uma partícula esférica de raio a em fluido de viscosidade eta a temperatura T:
D = kB,T6pi,eta,a,
onde kB é a constante de Boltzmann.

Passo 3

Definimos as grandezas em unidades cgs:
eta=0,0135;g/(cmcdot s),
diâmetro da molécula sim10^-4,cmRightarrow a=5times10^-5,cm,
T=17^circC=290;K,
kB=1,38times10^-16;erg/K.
Substituindo em
D = 1,38times10^-16times2906pitimes0,0135times5times10^-5 approx3,2times10^-9;cm^2/s

Passo 4

Agora calculamos o desvio quadrático médio em uma dimensão para t=2 min =120;s:
lang<= x^2rang<= = 2,D,t = 2times3,2times10^-9times120 approx7,7times10^-7;cm^2,
e o RMS é
raizlang<= x^2rang<= approxraiz7,7times10^-7 approx8,8times10^-4;cm

Passo 5

Interpretando o resultado, o deslocamento médio quadrático em uma direção após 2 minutos é da ordem de 10^-3 cm, ou seja, algumas micrômetros.

Resposta

O deslocamento RMS em uma direção é aproximadamente
8,8times10^-4;cm
(≈ 9 μm).

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