Em uma subestação elétrica, registra-se diariamente o número de falhas em um determinado sistema de proteção. A partir dos dados históricos, construiu-se a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória \mathrm{X}= número de falhas por dia:
\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right) \mathbf{0} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5}
p\left(x_{i}\right) 0,10 0,20 0,35 0,20 0,10 0,05
a) Calcule a probabilidade de ocorrerem mais de 2 falhas por dia.
b) Calcule a probabilidade de ocorrerem no máximo 1 falha por dia.
c) Calcule o número esperado de falhas por dia.
d) Calcule a variância do número de falhas.
e) Seja Y=500 X^{2}+200 X-1000 o custo diário (em reais) associado às falhas no sistema. Qual é o custo esperado diário da subestação?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade da variável aleatória X= número de falhas por dia com a tabela (peguei os números do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline p(x_i) & 0,10 & 0,20 & 0,35 & 0,20 & 0,10 & 0,05 \end{array}
As perguntas são:
(a) Calcular \Pr(X>2) — probabilidade de ocorrerem mais de 2 falhas por dia.
(b) Calcular \Pr(X\le 1) — probabilidade de ocorrerem no máximo 1 falha por dia.
(c) Calcular o número esperado de falhas por dia, isto é \mathbb{E}[X].
(d) Calcular a variância do número de falhas, isto é \operatorname{Var}(X).
(e) Para Y=500X^{2}+200X-1000 (custo diário em reais), calcular o custo esperado \mathbb{E}[Y].

Passo 2

(a) Como calcular \Pr(X>2). Uma explicação curta: o evento \{X>2\} é a união disjunta de \{X=3\},\{X=4\},\{X=5\}. Para variáveis discretas, a probabilidade do evento é a soma das probabilidades desses pontos:
\Pr(X>2)=\Pr(X=3)+\Pr(X=4)+\Pr(X=5).
Substituindo os valores da tabela (peguei estes números da tabela do enunciado):
\Pr(X>2)=0,20+0,10+0,05.
Calculando a soma:
\Pr(X>2)=0,35.

Passo 3

(b) Como calcular \Pr(X\le 1). O evento \{X\le 1\} é \{X=0\}\cup\{X=1\}. Soma das probabilidades:
\Pr(X\le 1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)=0,10+0,20.
Calculando:
\Pr(X\le 1)=0,30.

Passo 4

(c) Cálculo do valor esperado \mathbb{E}[X]. Lembrete e fórmula: para uma variável aleatória discreta,
\mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\,p(x_i),
onde x_i são os possíveis valores de X e p(x_i)=\Pr(X=x_i). Cada termo é o valor multiplicado pela sua probabilidade; depois soma-se tudo. Vou mostrar termo a termo usando os dados da tabela:
\mathbb{E}[X]=0\cdot0,10+1\cdot0,20+2\cdot0,35+3\cdot0,20+4\cdot0,10+5\cdot0,05.
Calculemos cada produto:
0\cdot0,10=0, \quad 1\cdot0,20=0,20, \quad 2\cdot0,35=0,70,
3\cdot0,20=0,60, \quad 4\cdot0,10=0,40, \quad 5\cdot0,05=0,25.
Somando tudo:
\mathbb{E}[X]=0+0,20+0,70+0,60+0,40+0,25=2,15.

Passo 5

Para calcular a variância é útil primeiro achar \mathbb{E}[X^{2}]. Definição e razão: a variância pode ser obtida por
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}.
Aqui \mathbb{E}[X^{2}] é obtido somando x_i^{2}p(x_i). Vou calcular termo a termo usando a tabela (peguei os p(x_i) e x_i da tabela):
\mathbb{E}[X^{2}]=0^{2}\cdot0,10+1^{2}\cdot0,20+2^{2}\cdot0,35+3^{2}\cdot0,20+4^{2}\cdot0,10+5^{2}\cdot0,05.
Calcule os produtos:
0^{2}\cdot0,10=0, \quad 1^{2}\cdot0,20=0,20, \quad 2^{2}\cdot0,35=4\cdot0,35=1,40,
3^{2}\cdot0,20=9\cdot0,20=1,80, \quad 4^{2}\cdot0,10=16\cdot0,10=1,60, \quad 5^{2}\cdot0,05=25\cdot0,05=1,25.
Somando:
\mathbb{E}[X^{2}]=0+0,20+1,40+1,80+1,60+1,25=6,25.

Passo 6

Agora calculamos a variância usando a fórmula dada. Já temos \mathbb{E}[X^{2}]=6,25 e \mathbb{E}[X]=2,15. Primeiro calcule \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}:
\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}=(2,15)^{2}=4,6225.
Então
\operatorname{Var}(X)=6,25-4,6225=1,6275.
Portanto a variância é \operatorname{Var}(X)=1,6275.

Passo 7

(e) Cálculo do custo esperado \mathbb{E}[Y] com Y=500X^{2}+200X-1000. Propriedade usada: a esperança é linear, logo constantes e multiplicadores saem da esperança:
\mathbb{E}[Y]=500\,\mathbb{E}[X^{2}]+200\,\mathbb{E}[X]-1000.
Já calculamos \mathbb{E}[X^{2}]=6,25 e \mathbb{E}[X]=2,15. Substituindo:
\mathbb{E}[Y]=500\cdot6,25+200\cdot2,15-1000.
Calcule os termos:
500\cdot6,25=3125,\qquad 200\cdot2,15=430.
Somando e subtraindo:
\mathbb{E}[Y]=3125+430-1000=2555.
Então o custo esperado diário é 2555 reais.

Resposta

(a) \Pr(X>2)=0,35
(b) \Pr(X\le 1)=0,30
(c) \mathbb{E}[X]=2,15
(d) \operatorname{Var}(X)=1,6275
(e) \mathbb{E}[Y]=2555

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