Em uma subestação elétrica, registra-se diariamente o número de falhas em um determinado sistema de proteção. A partir dos dados históricos, construiu-se a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória
número de falhas por dia:
0,10
0,20
0,35
0,20
0,10
0,05
a) Calcule a probabilidade de ocorrerem mais de 2 falhas por dia.
b) Calcule a probabilidade de ocorrerem no máximo 1 falha por dia.
c) Calcule o número esperado de falhas por dia.
d) Calcule a variância do número de falhas.
e) Seja
o custo diário (em reais) associado às falhas no sistema. Qual é o custo esperado diário da subestação?
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0,10 | 0,20 | 0,35 | 0,20 | 0,10 | 0,05 |
b) Calcule a probabilidade de ocorrerem no máximo 1 falha por dia.
c) Calcule o número esperado de falhas por dia.
d) Calcule a variância do número de falhas.
e) Seja
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade da variável aleatória
número de falhas por dia com a tabela (peguei os números do enunciado):
As perguntas são:
(a) Calcular — probabilidade de ocorrerem mais de 2 falhas por dia.
(b) Calcular — probabilidade de ocorrerem no máximo 1 falha por dia.
(c) Calcular o número esperado de falhas por dia, isto é .
(d) Calcular a variância do número de falhas, isto é .
(e) Para (custo diário em reais), calcular o custo esperado
.
(a) Calcular
(b) Calcular
(c) Calcular o número esperado de falhas por dia, isto é
(d) Calcular a variância do número de falhas, isto é
(e) Para
Passo 2
(a) Como calcular
. Uma explicação curta: o evento
é a união disjunta de
. Para variáveis discretas, a probabilidade do evento é a soma das probabilidades desses pontos:
Substituindo os valores da tabela (peguei estes números da tabela do enunciado):
Calculando a soma:
Passo 3
(b) Como calcular
. O evento
é
. Soma das probabilidades:
Calculando:
Passo 4
(c) Cálculo do valor esperado
. Lembrete e fórmula: para uma variável aleatória discreta,
onde
são os possíveis valores de
e
. Cada termo é o valor multiplicado pela sua probabilidade; depois soma-se tudo. Vou mostrar termo a termo usando os dados da tabela:
Calculemos cada produto:
Somando tudo:
Passo 5
Para calcular a variância é útil primeiro achar
. Definição e razão: a variância pode ser obtida por
Aqui
é obtido somando
. Vou calcular termo a termo usando a tabela (peguei os
e
da tabela):
Calcule os produtos:
Somando:
Passo 6
Agora calculamos a variância usando a fórmula dada. Já temos
e
. Primeiro calcule
:
Então
Portanto a variância é
.
Passo 7
(e) Cálculo do custo esperado
com
. Propriedade usada: a esperança é linear, logo constantes e multiplicadores saem da esperança:
Já calculamos
e
. Substituindo:
Calcule os termos:
Somando e subtraindo:
Então o custo esperado diário é
reais.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)