Se X \sim N(\mu, 36). Calcular P[|X-\mu|>3].
R. 0,617 .

Passo 1

O enunciado nos dá a informação e pede uma probabilidade clara. Vou listar isso sem resolver ainda:
  • Dado: X\sim N(\mu,36).
  • Pergunta: calcular P\bigl(|X-\mu|>3\bigr).
    As informações relevantes são: a média é \mu e a variância é 36 (logo o desvio padrão é \sqrt{36}=6). Nada mais é pedido além da probabilidade indicada.

Passo 2

Entender o que significa a probabilidade pedida e usar simetria do normal. A expressão |X-\mu|>3 significa que X está a mais de 3 unidades da média \mu. Podemos escrever a probabilidade como soma das caudas:
P\bigl(|X-\mu|>3\bigr)=P(X-\mu>3)+P(X-\mu<-3).
Como a distribuição normal é simétrica em torno de \mu, essas duas probabilidades são iguais. Portanto
P\bigl(|X-\mu|>3\bigr)=2\,P(X-\mu>3).
Explicação breve da simetria: para X\sim N(\mu,\sigma^2), a distribuição de X-\mu é simétrica em torno de 0, então a probabilidade de estar >a é igual à de estar < -a.

Passo 3

Padronizar para usar a tabela (ou função) da normal padrão. Definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{6},
que satisfaz Z\sim N(0,1). Transformando a desigualdade:
P(X-\mu>3)=P\!\left(\frac{X-\mu}{6}>\frac{3}{6}\right)=P(Z>0,5).
Substituindo na fórmula do Passo 2:
P\bigl(|X-\mu|>3\bigr)=2\,P(Z>0,5).
Aqui \Phi(t) denotará a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é \Phi(t)=P(Z\le t). Então P(Z>0,5)=1-\Phi(0,5).

Passo 4

Calcular numericamente usando a CDF da normal padrão. Valor conhecido (tabela ou calculadora):
\Phi(0,5)\approx 0,691462.
Logo
P\bigl(|X-\mu|>3\bigr)=2\bigl(1-\Phi(0,5)\bigr)=2\bigl(1-0,691462\bigr)=2(0,308538)=0,617076.
Arredondando a três casas decimais (como no enunciado), obtemos 0,617.

Resposta

0,617

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