Uma concessionária opera a rede de transmissão de energia de uma região. A demanda é
e o custo total é
, com
elevado.
(a) Determine
e o lucro monopolista.
(b) Encontre o nível eficiente
e calcule a perda de bem-estar.
(c) Avalie os efeitos de um preço-teto
com
.
(a) Determine
(b) Encontre o nível eficiente
(c) Avalie os efeitos de um preço-teto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, ponto a ponto.
- Dados fornecidos:
- Demanda:
, com e . - Custo total:
, com (fixo, elevado) e .
- Demanda:
- O que o enunciado pede:
- (a) Determinar
, e o lucro monopolista. - (b) Encontrar o nível eficiente
e calcular a perda de bem-estar (deadweight loss) causada pelo monopólio. - (c) Avaliar os efeitos de um preço-teto
tal que .
- (a) Determinar
Observações sobre as quantidades que vamos usar (não são soluções ainda, apenas referência aos símbolos):
-
é quantidade vendida. -
é o preço que o mercado aceita para a quantidade . - O lucro é
receita menos custo total.
Passo 2
Montar a função lucro do monopolista e o critério de maximização (aulas rápidas e passo a passo).
- Receita total
é preço vezes quantidade:
- Custo total já dado:
- Lucro
é receita menos custo:
Simplificando os termos em
:
Agora a regra do monopolista: escolhe
que maximiza
. Para maximizar uma função diferenciável em
usamos a condição de primeira ordem: derivada da função lucro em relação a
igual a zero (e checamos que a segunda derivada é negativa).
- Derivada:
- Interpretação rápida (conceito importando para prova): essa derivada é exatamente a diferença entre a Receita Marginal (MR) e o Custo Marginal (MC). A Receita Marginal para demanda linear
é (explicação: ). O Custo Marginal é a derivada de em relação a , que aqui é . Então a condição dá a mesma equação que a primeira ordem acima:
Passo 3
Resolver a condição de primeira ordem para encontrar
. Também verificar que é máximo.
- Igualando a derivada a zero:
- Logo
- Checagem da segunda derivada (para garantir máximo):
como
. Portanto é um máximo local (e global dado formato quadrático).
Passo 4
Achar o preço monopolista
usando a função demanda.
- Substituir
em :
Pequena intuição: o monopólio marca um preço que fica exatamente na média entre o intercepto da demanda
e o custo marginal
.
Passo 5
Calcular o lucro monopolista (incluindo o custo fixo
). Fazer as contas passo a passo.
Usamos a expressão
e substituímos
.
- Primeiro calcular os termos sem o
:
- Substituindo em
:
Portanto o lucro do monopolista é
Comentário prático: se
for muito grande pode acontecer de
, ou seja, mesmo maximizando, o monopolista não cobre o custo fixo — tema relevante em monopólios naturais.
Passo 6
Determinar o nível eficiente
(questão b). Explicar o conceito e calcular.
-
Conceito: a quantidade socialmente eficiente (que maximiza o bem-estar total, soma do excedente do consumidor e do produtor) em presença de custo marginal constante é aquela em que o preço que o consumidor está disposto a pagar é igual ao custo marginal de produção. Ou seja,
. Aqui . -
Resolver:
Observação: compare com
. Logo
Isto mostra que o monopólio produz metade da quantidade eficiente.
Passo 7
Calcular a perda de bem-estar (deadweight loss) devido à restrição monopolista.
- Geometricamente, a perda de bem-estar é a área do triângulo entre as curvas demanda e custo marginal entre
e . A base do triângulo é e a altura é . Assim:
- Agora substituímos as expressões que já temos:
- Portanto
Interpretação rápida: quanto maior a distância entre demanda e custo marginal (
) e quanto menor a sensibilidade da demanda (
pequeno), maior será a perda de bem-estar.
Passo 8
Analisar os efeitos de um preço-teto
com
(questão c). Vamos considerar dois casos relevantes e calcular quantidades, lucros e perda de bem-estar.
Primeiro, regra geral: se o teto de preço
for maior ou igual ao preço monopolista
, o teto não afeta o monopólio (não é vinculante). Se
, o teto é vinculante e o monopólio será forçado a cobrar
e vende a quantidade dada pela demanda a esse preço.
-
Caso 1:
. - Efeito: preço-teto não é vinculante; o monopólio mantém
, e . Não há mudança.
- Efeito: preço-teto não é vinculante; o monopólio mantém
-
Caso 2:
(teto vinculante). - Quantidade vendida será a quantidade demandada a preço
:
- Lucro (operacional) do monopolista sob o teto (antes de subtrair
):
- Perda de bem-estar relativa ao nível eficiente: agora o preço é maior que
, logo ainda há subprodução em relação a . A perda de bem-estar é a área do triângulo entre e com altura :
- Substituindo
e :
- Logo
- Quantidade vendida será a quantidade demandada a preço
Observações e interpretações importantes (úteis para prova e para saber o que ocorre na prática):
- Se
o teto é igual ao custo marginal e (quantidade eficiente). Entretanto, com o lucro operacional é zero, então o lucro total é : o monopolista sofre prejuízo igual ao custo fixo e, sem subsídio, pode sair do mercado. Em mercados com elevado (monopólio natural), fixar exige subsídio para viabilizar a empresa. - Para
o teto aumenta a quantidade vendida em relação ao monopólio (porque ), reduz o preço para consumidores e reduz o lucro do produtor. A perda de bem-estar sob o teto ainda é positiva (maior que zero) porque . Quanto mais baixo o teto (mais próximo de ), menor a DWL; no limite a DWL vai a zero, mas a viabilidade financeira do monopolista pode ficar comprometida. - Caso prático: o regulador escolhe entre eficiência (preço igual a
) exigindo subsídio, ou escolher um teto intermédio que melhora o bem-estar do consumidor em relação ao monopólio, mas mantém alguma ineficiência e reduz (ou elimina) lucro do produtor dependendo de .
Resposta
(a)
, \quad
, \quad
(b)
, \quad
(c) Se
o teto não é vinculante (sem efeitos). Se
o teto é vinculante e: