Uma concessionária opera a rede de transmissão de energia de uma região. A demanda é P(Q)=a-b Q e o custo total é C(Q)=F+c Q, com F elevado.
(a) Determine Q_{m}, P_{m} e o lucro monopolista.
(b) Encontre o nível eficiente Q_{c} e calcule a perda de bem-estar.
(c) Avalie os efeitos de um preço-teto P com c<P^{*}<a.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, ponto a ponto.
  • Dados fornecidos:
    • Demanda: P(Q)=a-bQ, com a>0 e b>0.
    • Custo total: C(Q)=F+cQ, com F>0 (fixo, elevado) e c\ge 0.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar Q_{m}, P_{m} e o lucro monopolista.
    • (b) Encontrar o nível eficiente Q_{c} e calcular a perda de bem-estar (deadweight loss) causada pelo monopólio.
    • (c) Avaliar os efeitos de um preço-teto P^{*} tal que c<P^{*}<a.
Observações sobre as quantidades que vamos usar (não são soluções ainda, apenas referência aos símbolos):
  • Q é quantidade vendida.
  • P(Q) é o preço que o mercado aceita para a quantidade Q.
  • O lucro é \pi(Q)= receita menos custo total.

Passo 2

Montar a função lucro do monopolista e o critério de maximização (aulas rápidas e passo a passo).
  • Receita total R(Q) é preço vezes quantidade:
R(Q)=P(Q)\,Q=(a-bQ)Q=aQ-bQ^{2}.
  • Custo total já dado:
C(Q)=F+cQ.
  • Lucro \pi(Q) é receita menos custo:
\pi(Q)=R(Q)-C(Q)=aQ-bQ^{2}-F-cQ.
Simplificando os termos em Q:
\pi(Q)=(a-c)Q-bQ^{2}-F.
Agora a regra do monopolista: escolhe Q que maximiza \pi(Q). Para maximizar uma função diferenciável em Q usamos a condição de primeira ordem: derivada da função lucro em relação a Q igual a zero (e checamos que a segunda derivada é negativa).
  • Derivada:
\frac{d\pi}{dQ}=(a-c)-2bQ.
  • Interpretação rápida (conceito importando para prova): essa derivada é exatamente a diferença entre a Receita Marginal (MR) e o Custo Marginal (MC). A Receita Marginal para demanda linear P=a-bQ é MR=a-2bQ (explicação: MR = P + Q\frac{dP}{dQ}=a-bQ + Q(-b)=a-2bQ). O Custo Marginal é a derivada de C em relação a Q, que aqui é MC=c. Então a condição MR=MC dá a mesma equação que a primeira ordem acima:
a-2bQ=c \quad\Longleftrightarrow\quad (a-c)-2bQ=0.

Passo 3

Resolver a condição de primeira ordem para encontrar Q_{m}. Também verificar que é máximo.
  • Igualando a derivada a zero:
(a-c)-2bQ_{m}=0.
  • Logo
Q_{m}=\frac{a-c}{2b}.
  • Checagem da segunda derivada (para garantir máximo):
\frac{d^{2}\pi}{dQ^{2}}=-2b<0,
como b>0. Portanto é um máximo local (e global dado formato quadrático).

Passo 4

Achar o preço monopolista P_{m} usando a função demanda.
  • Substituir Q_{m} em P(Q)=a-bQ:
P_{m}=a-bQ_{m}=a-b\cdot\frac{a-c}{2b}=a-\frac{a-c}{2}=\frac{a+c}{2}.
Pequena intuição: o monopólio marca um preço que fica exatamente na média entre o intercepto da demanda a e o custo marginal c.

Passo 5

Calcular o lucro monopolista (incluindo o custo fixo F). Fazer as contas passo a passo.
Usamos a expressão \pi(Q)=(a-c)Q-bQ^{2}-F e substituímos Q_{m}=\dfrac{a-c}{2b}.
  • Primeiro calcular os termos sem o -F:
(a-c)Q_{m}=(a-c)\cdot\frac{a-c}{2b}=\frac{(a-c)^{2}}{2b},
bQ_{m}^{2}=b\left(\frac{a-c}{2b}\right)^{2}=b\cdot\frac{(a-c)^{2}}{4b^{2}}=\frac{(a-c)^{2}}{4b}.
  • Substituindo em \pi:
\pi_{m}=\frac{(a-c)^{2}}{2b}-\frac{(a-c)^{2}}{4b}-F=\frac{(a-c)^{2}}{4b}-F.
Portanto o lucro do monopolista é
\pi_{m}=\frac{(a-c)^{2}}{4b}-F.
Comentário prático: se F for muito grande pode acontecer de \pi_{m}<0, ou seja, mesmo maximizando, o monopolista não cobre o custo fixo — tema relevante em monopólios naturais.

Passo 6

Determinar o nível eficiente Q_{c} (questão b). Explicar o conceito e calcular.
  • Conceito: a quantidade socialmente eficiente (que maximiza o bem-estar total, soma do excedente do consumidor e do produtor) em presença de custo marginal constante é aquela em que o preço que o consumidor está disposto a pagar é igual ao custo marginal de produção. Ou seja, P(Q_{c})=MC. Aqui MC=c.
  • Resolver:
a-bQ_{c}=c \quad\Longrightarrow\quad Q_{c}=\frac{a-c}{b}.
Observação: compare com Q_{m}=\dfrac{a-c}{2b}. Logo
Q_{c}=2Q_{m}.
Isto mostra que o monopólio produz metade da quantidade eficiente.

Passo 7

Calcular a perda de bem-estar (deadweight loss) devido à restrição monopolista.
  • Geometricamente, a perda de bem-estar é a área do triângulo entre as curvas demanda e custo marginal entre Q_{m} e Q_{c}. A base do triângulo é Q_{c}-Q_{m} e a altura é P_{m}-MC=(P_{m}-c). Assim:
\text{DWL}=\frac{1}{2}\,(Q_{c}-Q_{m})\,(P_{m}-c).
  • Agora substituímos as expressões que já temos:
Q_{c}-Q_{m}=\frac{a-c}{b}-\frac{a-c}{2b}=\frac{a-c}{2b}=Q_{m},
P_{m}-c=\frac{a+c}{2}-c=\frac{a-c}{2}.
  • Portanto
\text{DWL}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a-c}{2b}\cdot\frac{a-c}{2}=\frac{(a-c)^{2}}{8b}.
Interpretação rápida: quanto maior a distância entre demanda e custo marginal ( a-c) e quanto menor a sensibilidade da demanda ( b pequeno), maior será a perda de bem-estar.

Passo 8

Analisar os efeitos de um preço-teto P^{*} com c<P^{*}<a (questão c). Vamos considerar dois casos relevantes e calcular quantidades, lucros e perda de bem-estar.
Primeiro, regra geral: se o teto de preço P^{*} for maior ou igual ao preço monopolista P_{m}, o teto não afeta o monopólio (não é vinculante). Se P^{*}<P_{m}, o teto é vinculante e o monopólio será forçado a cobrar P^{*} e vende a quantidade dada pela demanda a esse preço.
  • Caso 1: P^{*}\ge P_{m}=\dfrac{a+c}{2}.
    • Efeito: preço-teto não é vinculante; o monopólio mantém P_{m}, Q_{m} e \pi_{m}. Não há mudança.
  • Caso 2: c<P^{*}<P_{m} (teto vinculante).
    • Quantidade vendida será a quantidade demandada a preço P^{*}:
    Q_{P}=\frac{a-P^{*}}{b}.
    • Lucro (operacional) do monopolista sob o teto (antes de subtrair F):
    \pi_{P}=(P^{*}-c)\,Q_{P}-F=(P^{*}-c)\frac{a-P^{*}}{b}-F.
    • Perda de bem-estar relativa ao nível eficiente: agora o preço é maior que c, logo ainda há subprodução em relação a Q_{c}. A perda de bem-estar é a área do triângulo entre Q_{P} e Q_{c} com altura P^{*}-c:
    \text{DWL}_{P}=\frac{1}{2}\,(Q_{c}-Q_{P})\,(P^{*}-c).
    • Substituindo Q_{c}=\dfrac{a-c}{b} e Q_{P}=\dfrac{a-P^{*}}{b}:
    Q_{c}-Q_{P}=\frac{a-c}{b}-\frac{a-P^{*}}{b}=\frac{P^{*}-c}{b}.
    • Logo
    \text{DWL}_{P}=\frac{1}{2}\cdot\frac{P^{*}-c}{b}\cdot(P^{*}-c)=\frac{(P^{*}-c)^{2}}{2b}.
Observações e interpretações importantes (úteis para prova e para saber o que ocorre na prática):
  • Se P^{*}=c o teto é igual ao custo marginal e Q_{P}=Q_{c} (quantidade eficiente). Entretanto, com P^{*}=c o lucro operacional (P^{*}-c)Q_{P} é zero, então o lucro total é -F: o monopolista sofre prejuízo igual ao custo fixo e, sem subsídio, pode sair do mercado. Em mercados com F elevado (monopólio natural), fixar P=c exige subsídio para viabilizar a empresa.
  • Para c<P^{*}<P_{m} o teto aumenta a quantidade vendida em relação ao monopólio (porque Q_{P}=\tfrac{a-P^{*}}{b}>Q_{m}), reduz o preço para consumidores e reduz o lucro do produtor. A perda de bem-estar \text{DWL}_{P} sob o teto ainda é positiva (maior que zero) porque P^{*}>c. Quanto mais baixo o teto (mais próximo de c), menor a DWL; no limite P^{*}\downarrow c a DWL vai a zero, mas a viabilidade financeira do monopolista pode ficar comprometida.
  • Caso prático: o regulador escolhe entre eficiência (preço igual a c) exigindo subsídio, ou escolher um teto intermédio P^{*} que melhora o bem-estar do consumidor em relação ao monopólio, mas mantém alguma ineficiência e reduz (ou elimina) lucro do produtor dependendo de F.

Resposta

(a) Q_{m}=\dfrac{a-c}{2b}, \quad P_{m}=\dfrac{a+c}{2}, \quad \pi_{m}=\dfrac{(a-c)^{2}}{4b}-F
(b) Q_{c}=\dfrac{a-c}{b}, \quad \text{DWL}=\dfrac{(a-c)^{2}}{8b}
(c) Se P^{*}\ge P_{m} o teto não é vinculante (sem efeitos). Se c<P^{*}<P_{m} o teto é vinculante e:
Q_{P}=\frac{a-P^{*}}{b},\qquad \pi_{P}=(P^{*}-c)\frac{a-P^{*}}{b}-F,
\text{DWL}_{P}=\frac{(P^{*}-c)^{2}}{2b}.

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