Uma empresa opera um ramal de transporte ferroviário de cargas. A demanda é
e o custo é
.
(a) Encontre a solução de monopólio.
(b) Calcule a perda de bem-estar.
(c) Compare com concorrência perfeita.
(a) Encontre a solução de monopólio.
(b) Calcule a perda de bem-estar.
(c) Compare com concorrência perfeita.
Passo 1
O enunciado dá a demanda e o custo e pede três coisas. Vou listar o que temos e o que é pedido, bem claro (peguei estes dados do enunciado):
- Função preço-demanda:
. - Custo total:
. - Perguntas:
(a) Encontrar a solução de monopólio (ou seja,, e lucro do monopolista).
(b) Calcular a perda de bem-estar (deadweight loss) causada pelo monopólio.
(c) Comparar com o resultado em concorrência perfeita (quanto seria, , excedentes, etc.).
Passo 2
Entendendo o objetivo do monopolista e conceitos importantes (rapidinho e com jeitinho didático).
- O monopolista escolhe a quantidade
que maximiza o lucro. Lucro é receita total menos custo total. - Receita total:
. - Receita marginal (marginal revenue,
) é a derivada da receita total: .
Vamos calcular: derivandotemos Explicação curta: para demanda linear , a receita marginal é ; aqui e , então . - Custo marginal (
) é a derivada do custo total: .
Explicação: custo é linear, então o custo extra de produzir uma unidade a mais é constante e igual a.
Passo 3
Regra de maximização do monopolista e cálculo da quantidade ótima.
- Condição de primeira ordem: o monopolista produz onde
.
Substituindo: - Resolver para
: Assim a quantidade monopolística é .
Passo 4
Calcular o preço que o monopolista cobra e o lucro.
- Preço pela curva de demanda em
: - Lucro do monopolista:
.
Calcular:Então lucro é .
Passo 5
Agora vamos calcular os excedentes e a perda de bem-estar. Primeiro, conceitos e fórmulas rápidas (explicadas):
- Excedente do consumidor (CS) para demanda linear até quantidade
: área do triângulo entre preço de reserva máxima e preço pago : .
Aquié o preço máximo disposto a pagar (intercepto da demanda), que é . - Excedente do produtor (PS) em nosso caso sem custo fixo e com custo linear igual ao custo total: PS coincide com o lucro quando
é variável linear e não há áreas acima do MC separadas (neste caso ). - Excedente total (welfare) é
. - Perda de bem-estar (DWL) é a diferença entre o excedente total sob concorrência perfeita e o excedente total sob monopólio.
Passo 6
Calcular os excedentes sob monopólio.
- Consumidor sob monopólio:
- Produtor sob monopólio = lucro:
- Excedente total sob monopólio:
Passo 7
Concorrência perfeita: condição e quantidade de equilíbrio.
- Em concorrência perfeita, preço é igual ao custo marginal:
.
Aqui, então . - Quantidade competitiva
vem da demanda igual ao preço:
Passo 8
Excedentes sob concorrência perfeita.
- Consumidor:
- Produtor: com
e custo linear , o produtor não obtém lucro econômico (area entre preço e MC é zero), então - Excedente total competitivo:
Passo 9
Calcular a perda de bem-estar (DWL) e interpretar numericamente.
- DWL é a diferença:
- Checagem geométrica (fórmula do triângulo que aparece entre as quantidades):
.
Verificando:mesmo número — tudo consistente.
Passo 10
Comparação final e interpretação (resumindo em palavras amigáveis):
- Concorrência perfeita produz mais e cobra menos:
vs ; vs . - O monopolista reduz a quantidade pela metade e aumenta o preço substancialmente, obtendo lucro
. - Essa restrição de quantidade causa uma perda de bem-estar total para a sociedade de
: parte do excedente do consumidor some (vira excedente do produtor em lucro) e parte some de vez (a DWL). - Em números: excedente total competitivo
, excedente total monopolista .
Resposta
(a)
(b)
(c) Concorrência perfeita: . Comparação: o monopólio reduz
de
para
, aumenta
de
para
e gera
.
(b)
(c) Concorrência perfeita: