Uma empresa opera um ramal de transporte ferroviário de cargas. A demanda é P(Q)=200-2 Q e o custo é C(Q)=20 Q.
(a) Encontre a solução de monopólio.
(b) Calcule a perda de bem-estar.
(c) Compare com concorrência perfeita.

Passo 1

O enunciado dá a demanda e o custo e pede três coisas. Vou listar o que temos e o que é pedido, bem claro (peguei estes dados do enunciado):
  • Função preço-demanda: P(Q)=200-2Q.
  • Custo total: C(Q)=20Q.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a solução de monopólio (ou seja, Q, P e lucro do monopolista).
    (b) Calcular a perda de bem-estar (deadweight loss) causada pelo monopólio.
    (c) Comparar com o resultado em concorrência perfeita (quanto seria Q, P, excedentes, etc.).

Passo 2

Entendendo o objetivo do monopolista e conceitos importantes (rapidinho e com jeitinho didático).
  • O monopolista escolhe a quantidade Q que maximiza o lucro. Lucro é receita total menos custo total.
  • Receita total: \,R(Q)=P(Q)\cdot Q = (200-2Q)Q = 200Q-2Q^2.
  • Receita marginal (marginal revenue, MR) é a derivada da receita total: \,MR(Q)=\dfrac{dR}{dQ}.
    Vamos calcular: derivando \,R(Q)=200Q-2Q^2 temos MR(Q)=200-4Q.Explicação curta: para demanda linear P=a-bQ, a receita marginal é MR=a-2bQ; aqui a=200 e b=2, então MR=200-4Q.
  • Custo marginal ( MC) é a derivada do custo total: \,C(Q)=20Q\Rightarrow MC(Q)=20.
    Explicação: custo é linear, então o custo extra de produzir uma unidade a mais é constante e igual a 20.

Passo 3

Regra de maximização do monopolista e cálculo da quantidade ótima.
  • Condição de primeira ordem: o monopolista produz onde MR(Q)=MC(Q).
    Substituindo: 200-4Q = 20.
  • Resolver para Q: 200-20 = 4Q \quad\Rightarrow\quad 180 = 4Q \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{180}{4}=45.Assim a quantidade monopolística é \,Q_m=45.

Passo 4

Calcular o preço que o monopolista cobra e o lucro.
  • Preço pela curva de demanda em Q_m: P_m = P(45)=200-2\cdot 45 = 200-90 = 110.
  • Lucro do monopolista: \pi = R - C = P_m\cdot Q_m - C(Q_m).
    Calcular: \pi = 110\cdot 45 - 20\cdot 45 = (110-20)\cdot 45 = 90\cdot 45 = 4050.Então lucro é \,4050.

Passo 5

Agora vamos calcular os excedentes e a perda de bem-estar. Primeiro, conceitos e fórmulas rápidas (explicadas):
  • Excedente do consumidor (CS) para demanda linear até quantidade Q: área do triângulo entre preço de reserva máxima P(0) e preço pago P: \,CS=\tfrac{1}{2}\big(P(0)-P\big)Q.
    Aqui P(0) é o preço máximo disposto a pagar (intercepto da demanda), que é 200.
  • Excedente do produtor (PS) em nosso caso sem custo fixo e com custo linear igual ao custo total: PS coincide com o lucro quando C(Q) é variável linear e não há áreas acima do MC separadas (neste caso PS=\pi).
  • Excedente total (welfare) é CS+PS.
  • Perda de bem-estar (DWL) é a diferença entre o excedente total sob concorrência perfeita e o excedente total sob monopólio.

Passo 6

Calcular os excedentes sob monopólio.
  • Consumidor sob monopólio: CS_m = \frac{1}{2}\big(P(0)-P_m\big)Q_m = \frac{1}{2}(200-110)\cdot 45 = \frac{1}{2}\cdot 90\cdot 45 = 45\cdot 45 = 2025.
  • Produtor sob monopólio = lucro: PS_m = \pi = 4050.
  • Excedente total sob monopólio: TS_m = CS_m + PS_m = 2025 + 4050 = 6075.

Passo 7

Concorrência perfeita: condição e quantidade de equilíbrio.
  • Em concorrência perfeita, preço é igual ao custo marginal: P=MC.
    Aqui MC=20, então P_c=20.
  • Quantidade competitiva Q_c vem da demanda igual ao preço: 200-2Q_c = 20 \quad\Rightarrow\quad 2Q_c = 180 \quad\Rightarrow\quad Q_c = 90.

Passo 8

Excedentes sob concorrência perfeita.
  • Consumidor: CS_c = \frac{1}{2}\big(P(0)-P_c\big)Q_c = \frac{1}{2}(200-20)\cdot 90 = \frac{1}{2}\cdot 180\cdot 90 = 90\cdot 90 = 8100.
  • Produtor: com P=MC e custo linear C(Q)=20Q, o produtor não obtém lucro econômico (area entre preço e MC é zero), então PS_c = 0.
  • Excedente total competitivo: TS_c = CS_c + PS_c = 8100 + 0 = 8100.

Passo 9

Calcular a perda de bem-estar (DWL) e interpretar numericamente.
  • DWL é a diferença: DWL = TS_c - TS_m = 8100 - 6075 = 2025.
  • Checagem geométrica (fórmula do triângulo que aparece entre as quantidades): DWL=\tfrac{1}{2}(Q_c-Q_m)(P_m-MC).
    Verificando: \tfrac{1}{2}(90-45)(110-20) = \tfrac{1}{2}\cdot 45\cdot 90 = 2025,mesmo número — tudo consistente.

Passo 10

Comparação final e interpretação (resumindo em palavras amigáveis):
  • Concorrência perfeita produz mais e cobra menos: Q_c=90 vs Q_m=45; P_c=20 vs P_m=110.
  • O monopolista reduz a quantidade pela metade e aumenta o preço substancialmente, obtendo lucro \,4050.
  • Essa restrição de quantidade causa uma perda de bem-estar total para a sociedade de \,2025: parte do excedente do consumidor some (vira excedente do produtor em lucro) e parte some de vez (a DWL).
  • Em números: excedente total competitivo =8100, excedente total monopolista =6075.

Resposta

(a) Q_m=45,\;P_m=110,\;\text{lucro}=\;4050
(b) \text{Perda de bem-estar (DWL)}=2025
(c) Concorrência perfeita: Q_c=90,\;P_c=20,\;\text{excedente total}=8100. Comparação: o monopólio reduz Q de 90 para 45, aumenta P de 20 para 110 e gera DWL=2025.

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