Três empresas localizadas no mesmo distrito tecnológico decidem compartilhar a infraestrutura de recarga de veículos elétricos (bem público). Cada empresa tem função de benefício:
O custo total é
.
Determine
e o nível de contribuição voluntária de cada uma.
Determine
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Cada uma das três empresas tem função de benefício
onde
é o nível total do bem público (infraestrutura de recarga) usufruído por todas.
- O custo total de prover nível
é
O que o enunciado pede:
- Determinar
, isto é, o nível socialmente ótimo de provisão do bem público. - Determinar o nível de contribuição voluntária de cada empresa (ou seja, quanto cada empresa paga em equilíbrio de contribuição voluntária, assumindo comportamento simétrico).
Passo 2
Primeiro vamos achar
(ótimo social). Ideia: o nível socialmente ótimo maximiza o excedente total (soma dos benefícios das três empresas menos o custo total). Vou montar a função objetivo e derivar.
A soma dos benefícios das três empresas é
O excedente social (ou lucro social) é
Simplificando:
Para maximizar
calculamos a derivada e igualamos a zero (condição de primeira ordem). Aqui vou explicar: a derivada
é a taxa de variação do excedente quando aumentamos
uma unidade. Para um máximo interior, essa derivada deve ser zero.
Calculemos a derivada:
Igualando a zero:
Passo 3
Interpretação econômica do passo anterior (para você decorar a ideia): a condição de ótimo social pode ser vista também como igualdade entre a soma das utilidades marginais (soma das derivadas dos benefícios) e o custo marginal. De fato,
e o custo marginal é
Igualando
obtemos
, exatamente o que achamos.
Numericamente,
Passo 4
Agora vamos achar o nível de contribuição voluntária de cada empresa. Primeiro explico o modelo que estou usando (muito comum nesse tipo de exercício): cada empresa escolhe quanto pagar em dinheiro, digamos
. O total de recursos arrecadados é
. A provisão do bem
está ligada ao total arrecadado pela função inversa da função custo: para que um nível
seja provido, é preciso arrecadar
. Invertendo:
A utilidade (payoff) da empresa
é o benefício que obtém menos o que ela paga:
Cada empresa escolhe
maximizando
, tomando as contribuições dos outros como dadas. Em equilíbrio simétrico todas escolhem o mesmo
. Vou derivar a condição de melhor resposta.
Passo 5
Cálculo da melhor resposta (condição de primeira ordem). Como
depende de
e
depende de
, ao derivar
em relação a
temos:
Aqui
é a variação de
quando
aumenta sua contribuição marginalmente. Como
e
, temos
.
Portanto a condição de primeira ordem (igualando a zero para maximizar) é
Agora calcule
. De
temos
Igualando a 50:
Esse
é o nível total que resulta do jogo de contribuições voluntárias (Nash simétrico) sob o modelo explicado.
Passo 6
Agora determinamos quanto cada uma paga. O custo total correspondente a
é
Em equilíbrio simétrico cada empresa paga a mesma quantia, logo a contribuição de cada uma é
Se quiser, podemos checar que a contribuição total
gera
, consistente.
Comentário final (curto e encorajador): note que
no equilíbrio voluntário (
) é bem menor que o
social (
): isso é típico de bens públicos — subprovisão privada. Mas cada empresa ainda obtém benefício líquido positivo com a contribuição.
Resposta
Contribuição voluntária de cada empresa: