Três empresas localizadas no mesmo distrito tecnológico decidem compartilhar a infraestrutura de recarga de veículos elétricos (bem público). Cada empresa tem função de benefício:
B_{i}(Q)=70 Q-\frac{1}{2} Q^{2} .
O custo total é C(Q)=100+50 Q.
Determine Q^{*} e o nível de contribuição voluntária de cada uma.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Cada uma das três empresas tem função de benefício
B_{i}(Q)=70Q-\tfrac{1}{2}Q^{2},
onde \;Q\; é o nível total do bem público (infraestrutura de recarga) usufruído por todas.
  • O custo total de prover nível Q é
C(Q)=100+50Q.
O que o enunciado pede:
  • Determinar Q^{*}, isto é, o nível socialmente ótimo de provisão do bem público.
  • Determinar o nível de contribuição voluntária de cada empresa (ou seja, quanto cada empresa paga em equilíbrio de contribuição voluntária, assumindo comportamento simétrico).

Passo 2

Primeiro vamos achar Q^{*} (ótimo social). Ideia: o nível socialmente ótimo maximiza o excedente total (soma dos benefícios das três empresas menos o custo total). Vou montar a função objetivo e derivar.
A soma dos benefícios das três empresas é
\sum_{i=1}^{3} B_i(Q)=3\bigl(70Q-\tfrac{1}{2}Q^{2}\bigr)=210Q-\tfrac{3}{2}Q^{2}.
O excedente social (ou lucro social) é
S(Q)=\sum_{i}B_i(Q)-C(Q)=\bigl(210Q-\tfrac{3}{2}Q^{2}\bigr)-\bigl(100+50Q\bigr).
Simplificando:
S(Q)=210Q-\tfrac{3}{2}Q^{2}-100-50Q=160Q-\tfrac{3}{2}Q^{2}-100.
Para maximizar S(Q) calculamos a derivada e igualamos a zero (condição de primeira ordem). Aqui vou explicar: a derivada S'(Q) é a taxa de variação do excedente quando aumentamos Q uma unidade. Para um máximo interior, essa derivada deve ser zero.
Calculemos a derivada:
S'(Q)=160-3Q.
Igualando a zero:
160-3Q=0 \quad\Rightarrow\quad 3Q=160 \quad\Rightarrow\quad Q^{*}=\frac{160}{3}.

Passo 3

Interpretação econômica do passo anterior (para você decorar a ideia): a condição de ótimo social pode ser vista também como igualdade entre a soma das utilidades marginais (soma das derivadas dos benefícios) e o custo marginal. De fato,
\text{soma das MB}=\sum_{i}B_i'(Q)=3(70-Q)=210-3Q,
e o custo marginal é
C'(Q)=50.
Igualando 210-3Q=50 obtemos Q=\tfrac{160}{3}, exatamente o que achamos.
Numericamente,
Q^{*}=\frac{160}{3}\approx 53,33.

Passo 4

Agora vamos achar o nível de contribuição voluntária de cada empresa. Primeiro explico o modelo que estou usando (muito comum nesse tipo de exercício): cada empresa escolhe quanto pagar em dinheiro, digamos t_i. O total de recursos arrecadados é T=\sum_{i}t_i. A provisão do bem Q está ligada ao total arrecadado pela função inversa da função custo: para que um nível Q seja provido, é preciso arrecadar T=C(Q)=100+50Q. Invertendo:
Q=\frac{T-100}{50}.
A utilidade (payoff) da empresa i é o benefício que obtém menos o que ela paga:
U_i=B_i(Q)-t_i.
Cada empresa escolhe t_i maximizando U_i, tomando as contribuições dos outros como dadas. Em equilíbrio simétrico todas escolhem o mesmo t_i. Vou derivar a condição de melhor resposta.

Passo 5

Cálculo da melhor resposta (condição de primeira ordem). Como Q depende de T e T depende de t_i, ao derivar U_i em relação a t_i temos:
\frac{dU_i}{dt_i}=B_i'(Q)\cdot\frac{dQ}{dt_i}-1.
Aqui \tfrac{dQ}{dt_i} é a variação de Q quando i aumenta sua contribuição marginalmente. Como Q=(T-100)/50 e T=\sum t_j, temos \tfrac{dQ}{dt_i}=1/50.
Portanto a condição de primeira ordem (igualando a zero para maximizar) é
B_i'(Q)\cdot\frac{1}{50}-1=0 \quad\Rightarrow\quad B_i'(Q)=50.
Agora calcule B_i'(Q). De B_i(Q)=70Q-\tfrac{1}{2}Q^{2} temos
B_i'(Q)=70-Q.
Igualando a 50:
70-Q=50 \quad\Rightarrow\quad Q=20.
Esse Q=20 é o nível total que resulta do jogo de contribuições voluntárias (Nash simétrico) sob o modelo explicado.

Passo 6

Agora determinamos quanto cada uma paga. O custo total correspondente a Q=20 é
C(20)=100+50\cdot20=100+1000=1100.
Em equilíbrio simétrico cada empresa paga a mesma quantia, logo a contribuição de cada uma é
t_i=\frac{C(20)}{3}=\frac{1100}{3}\approx 366,67.
Se quiser, podemos checar que a contribuição total T=1100 gera Q=(T-100)/50=(1100-100)/50=1000/50=20, consistente.
Comentário final (curto e encorajador): note que Q no equilíbrio voluntário ( 20) é bem menor que o Q^{*} social ( 160/3\approx 53,33): isso é típico de bens públicos — subprovisão privada. Mas cada empresa ainda obtém benefício líquido positivo com a contribuição.

Resposta

Q^{*}=\dfrac{160}{3}\approx 53,33
Contribuição voluntária de cada empresa: t_i=\dfrac{1100}{3}\approx 366,67

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