Uma firma de engenharia de software oferece treinamento em cibersegurança industrial como bem público interno. O benefício de cada equipe é:
B_{i}(Q)=a_{i} \ln (Q+1), \quad i=1,2,3
\operatorname{com} a_{1}=100, a_{2}=80, a_{3}=60 e custo total C(Q)=120 Q.
Escreva a condição de Samuelson para o nível ótimo de provisão do bem público e resolva Q^{*}.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • O enunciado fornece os benefícios por equipe:
    • B_{i}(Q)=a_{i}\ln(Q+1) para i=1,2,3.
    • a_{1}=100,\; a_{2}=80,\; a_{3}=60.
  • O enunciado fornece o custo total:
    • C(Q)=120\,Q.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Escrever a condição de Samuelson para o nível ótimo de provisão do bem público.
    2. Resolver essa condição para encontrar Q^{*}.

Passo 2

Entendendo o que significa buscar o nível ótimo Q^{*}.
  • A ideia é escolher Q que maximize o bem-estar agregado (soma dos benefícios) menos o custo total, isto é, maximizar a função de bem-estar social
W(Q)=\sum_{i=1}^{3}B_{i}(Q)-C(Q).
  • Para encontrar um máximo interior de uma função diferenciável usamos a condição de primeira ordem: derivada de W igual a zero. Essa condição, quando escrita em termos de benefícios marginais, é precisamente a condição de Samuelson: a soma das utilidades marginais (ou disposição marginal a pagar) dos usuários pelo último incremento do bem público deve ser igual ao custo marginal da provisão.

Passo 3

Escrever matematicamente a condição de Samuelson.
  • Primeiro calcule o benefício marginal de cada equipe, ou seja, a derivada de B_{i}(Q) em relação a Q.
    • Como B_{i}(Q)=a_{i}\ln(Q+1), a derivada é (regra: \dfrac{d}{dQ}\ln(Q+1)=\dfrac{1}{Q+1})
    B_{i}'(Q)=\frac{a_{i}}{Q+1}.Aqui B_{i}'(Q) significa “quanto o benefício da equipe i aumenta quando Q aumenta um pouco”.
  • O custo marginal C'(Q) é a derivada de C(Q)=120Q: C'(Q)=120.
  • A condição de Samuelson exige que, no ótimo Q^{*}, \sum_{i=1}^{3} B_{i}'(Q^{*}) = C'(Q^{*}).Substituindo B_{i}'(Q) e C'(Q), obtemos a forma explícita: \sum_{i=1}^{3} \frac{a_{i}}{Q^{*}+1}=120.

Passo 4

Somar os a_{i} e simplificar a condição.
  • Calcule a soma dos coeficientes: a_{1}+a_{2}+a_{3}=100+80+60=240.
  • Como todos os termos da soma têm denominador comum Q^{*}+1, a soma fica \sum_{i=1}^{3}\frac{a_{i}}{Q^{*}+1}=\frac{240}{Q^{*}+1}.
  • Logo a condição de Samuelson escrita de forma numérica é \frac{240}{Q^{*}+1}=120.

Passo 5

Resolver a equação para Q^{*}.
  • A equação é \frac{240}{Q^{*}+1}=120.
  • Multiplicando ambos os lados por Q^{*}+1 e dividindo por 120: Q^{*}+1=\frac{240}{120}=2.
  • Portanto Q^{*}=2-1=1.

Passo 6

Verificação (segurança e interpretação).
  • Verificar a condição de primeira ordem no valor encontrado:
    • Para Q^{*}=1, cada benefício marginal é B_{i}'(1)=\dfrac{a_{i}}{1+1}=\dfrac{a_{i}}{2}.
    • Soma: \dfrac{100}{2}+\dfrac{80}{2}+\dfrac{60}{2}=\dfrac{240}{2}=120, que iguala o custo marginal 120. OK.
  • Verificar a segunda derivada para garantir máximo:
    • W''(Q)=-\dfrac{240}{(Q+1)^{2}}<0 para todo Q\ge0, logo é um máximo local (e global neste caso). Isso confirma que Q^{*}=1 é o ótimo.

Resposta

\displaystyle \sum_{i=1}^{3} B_{i}'(Q^{*})=C'(Q^{*}), ou seja \displaystyle \frac{240}{Q^{*}+1}=120.\n
\displaystyle Q^{*}=1

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