Uma firma de engenharia de software oferece treinamento em cibersegurança industrial como bem público interno. O benefício de cada equipe é:
e custo total
.
Escreva a condição de Samuelson para o nível ótimo de provisão do bem público e resolva
.
Escreva a condição de Samuelson para o nível ótimo de provisão do bem público e resolva
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
- O enunciado fornece os benefícios por equipe:
-
para . -
.
-
- O enunciado fornece o custo total:
-
.
-
- O enunciado pede duas coisas:
- Escrever a condição de Samuelson para o nível ótimo de provisão do bem público.
- Resolver essa condição para encontrar
.
Passo 2
Entendendo o que significa buscar o nível ótimo
.
- A ideia é escolher
que maximize o bem-estar agregado (soma dos benefícios) menos o custo total, isto é, maximizar a função de bem-estar social
- Para encontrar um máximo interior de uma função diferenciável usamos a condição de primeira ordem: derivada de
igual a zero. Essa condição, quando escrita em termos de benefícios marginais, é precisamente a condição de Samuelson: a soma das utilidades marginais (ou disposição marginal a pagar) dos usuários pelo último incremento do bem público deve ser igual ao custo marginal da provisão.
Passo 3
Escrever matematicamente a condição de Samuelson.
- Primeiro calcule o benefício marginal de cada equipe, ou seja, a derivada de
em relação a . - Como
, a derivada é (regra: )
Aqui significa “quanto o benefício da equipe aumenta quando aumenta um pouco”. - Como
- O custo marginal
é a derivada de : - A condição de Samuelson exige que, no ótimo
, Substituindo e , obtemos a forma explícita:
Passo 4
Somar os
e simplificar a condição.
- Calcule a soma dos coeficientes:
- Como todos os termos da soma têm denominador comum
, a soma fica - Logo a condição de Samuelson escrita de forma numérica é
Passo 5
Resolver a equação para
.
- A equação é
- Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por : - Portanto
Passo 6
Verificação (segurança e interpretação).
- Verificar a condição de primeira ordem no valor encontrado:
- Para
, cada benefício marginal é . - Soma:
, que iguala o custo marginal . OK.
- Para
- Verificar a segunda derivada para garantir máximo:
-
para todo , logo é um máximo local (e global neste caso). Isso confirma que é o ótimo.
-