Conclua dos dois exercícios anteriores que o plano complexo e o conjunto vazio são, simultaneamente, abertos e fechados.
Passo 1
Resumindo, queremos ver que
e
são abertos e fechados. Lembrando que um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que a bola
, e
é fechado se o complementar
é aberto.
Passo 2
Pelo exercício anterior, já mostramos que, para qualquer
, existe raio
com
Logo
é aberto.
Passo 3
Do mesmo modo, mostramos também que
é aberto: como não há pontos em
, a condição se satisfaz trivialmente para todo
. Portanto
é aberto.
Passo 4
Como
é aberto (Passo 3), segue que
é fechado. E como
é aberto (Passo 2), segue que
é fechado.