Conclua dos dois exercícios anteriores que o plano complexo e o conjunto vazio são, simultaneamente, abertos e fechados.

Passo 1

Resumindo, queremos ver que \mathbb C e \emptyset são abertos e fechados. Lembrando que um conjunto S é aberto se, para todo z\in S, existe r>0 tal que a bola D(z,r)\subset S, e S é fechado se o complementar S^c é aberto.

Passo 2

Pelo exercício anterior, já mostramos que, para qualquer z\in\mathbb C, existe raio r>0 com
D(z,r)\subset\mathbb C.
Logo \mathbb C é aberto.

Passo 3

Do mesmo modo, mostramos também que \emptyset é aberto: como não há pontos em \emptyset, a condição se satisfaz trivialmente para todo z\in\emptyset. Portanto \emptyset é aberto.

Passo 4

Como \mathbb C^c = \emptyset é aberto (Passo 3), segue que \mathbb C é fechado. E como \emptyset^c = \mathbb C é aberto (Passo 2), segue que \emptyset é fechado.

Resposta

\mathbb C e \emptyset são simultaneamente abertos e fechados.

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