Decomponha o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{z})=5 \mathrm{z}^{3}+8 em fatores de grau 1 .

Passo 1

O enunciado pede a fatoração em fatores de grau 1 do polinômio \mathrm{P}(z)=5z^3+8. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau 3 se decompõe em três fatores lineares sobre \mathbb{C}. Para isso, vamos encontrar todas as raízes de \mathrm{P}(z).

Passo 2

As raízes satisfazem
5z^3+8=0
ou seja
z^3=-\frac{8}{5}.
Escrevemos -\tfrac{8}{5} em forma polar: módulo \tfrac{8}{5} e argumento \pi, pois é real negativo. Assim,
-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}\,\mathrm{e}^{i\pi}.

Passo 3

As soluções de z^3=\tfrac{8}{5}\mathrm{e}^{i\pi} vêm das três raízes cúbicas da forma
z_k=\biggl(\frac{8}{5}\biggr)^{\!\tfrac13}\! \mathrm{e}^{\,i\frac{\pi+2\pi k}{3}} ,\quad k=0,1,2.
Como \bigl(\tfrac{8}{5}\bigr)^{1/3}=\tfrac{2}{\sqrt[3]{5}}, segue
z_k=\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\, \mathrm{e}^{\,i\bigl(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3}\bigr)} ,\quad k=0,1,2.

Passo 4

Logo, a fatoração em fatores lineares é
\mathrm{P}(z) =5\prod_{k=0}^{2}\bigl(z - z_k\bigr) =5\,(z - z_0)\,(z - z_1)\,(z - z_2).

Resposta

\mathrm{P}(z) =5 \left(z-\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\,\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right) \left(z-\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\,\mathrm{e}^{i\pi}\right) \left(z-\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\,\mathrm{e}^{i\frac{5\pi}{3}}\right).

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