Conclua as igualdades usando integração por partes
integral x^2 ln (x+1) d x=118(6(x^3+1) ln (x+1)-2 x^3+3 x^2-6 x)+C

Passo 1

O exercício pede para calcular integral x^2ln(x+1),dx usando integração por partes, que é um método para integrar produtos de funções. Vamos precisar escolher u e dv, aplicar a fórmula integral u,dv=uv-integral v,du e depois simplificar a integral que aparecer.

Passo 2

Escolhemos u=ln(x+1) e dv=x^2,dx. Assim, temos
du=1x+1,dx,
v=integral x^2,dx=x^33

Passo 3

Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos
integral x^2ln(x+1),dx=x^33ln(x+1)-integral x^33cdot1x+1,dx

Passo 4

Para tratar integral x^3x+1,dx, fazemos divisão polinomial:
x^3x+1=x^2-x+1-1x+1
Logo,
integral x^3x+1,dx=integrall(x^2-x+1r)dx-integral 1x+1,dx =x^3/3 -x^2/2 +x -ln(x+1)

Passo 5

Voltando à integral original, temos
integral x^2ln(x+1),dx=x^33ln(x+1)-13l(x^3/3 -x^2/2 +x -ln(x+1)r)+C
Distribuindo e reorganizando termos:

Passo 6

Fatorando e escrevendo em uma única fração, chega-se a
integral x^2ln(x+1),dx=118l(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6xr)+C

Resposta

integral x^2ln(x+1),dx=118l(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6xr)+C.

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