Conclua as igualdades usando integração por partes
integral sin (ln z) d z=-12 z(cos (ln z)-sin (ln z))+C

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral sin(ln z),dz usando o método de integração por partes, que diz que integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u=sin(ln z) e dv=dz, logo
du = cos(ln z)cdot1z,dz, v = z
Aplicando por partes:
integral sin(ln z),dz = zsin(ln z) - integral z cdot cos(ln z)z,dz = zsin(ln z) - integral cos(ln z),dz

Passo 3

Agora precisamos achar integral cos(ln z),dz. De novo por partes, com u=cos(ln z) e dv=dz:
du = -sin(ln z)cdot1z,dz, v = z
Então
integral cos(ln z),dz = zcos(ln z) - integral z l(-sin(ln z)zr),dz = zcos(ln z) + integral sin(ln z),dz

Passo 4

Definindo I=integral sin(ln z),dz, da primeira parte temos
I = zsin(ln z) - integral cos(ln z),dz
e da segunda
integral cos(ln z),dz = zcos(ln z) + I
Substituindo:
I = zsin(ln z) - l(zcos(ln z) + Ir) = zsin(ln z) - zcos(ln z) - I
Logo
2I = zl(sin(ln z) - cos(ln z)r)
e
I = -tfracz2l(cos(ln z)-sin(ln z)r)

Passo 5

Por fim, lembre-se de adicionar a constante de integração C, completando a primitiva.

Resposta

-tfrac12zl(cos(ln z)-sin(ln z)r)+C

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