Classifique as equações abaixo quanto a ordem e a linearidade:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para classificar uma equação diferencial em relação à ordem e à linearidade. A equação que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a ordem de uma equação diferencial e o que define uma equação ser linear ou não. Vamos passo a passo!
Passo 2
Entendendo a ordem da equação:
A ordem de uma equação diferencial é determinada pelo maior grau de derivada presente na equação. Isso significa que precisamos identificar qual o maior derivado de $ y $ que aparece na equação.
Na nossa equação:
Temos $ y^{\prime} $, que é a primeira derivada de $ y $ em relação a $ t $. Não há derivadas de ordem superior (como $ y’’ $, $ y’’’ $, etc.). Portanto, a ordem da equação é 1.
Passo 3
Analisando a linearidade da equação:
Uma equação diferencial é linear se ela puder ser escrita na forma:
onde $ a_1(t) $, $ a_0(t) $ e $ g(t) $ são funções apenas de $ t $, e $ y $ e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem estarem multiplicadas entre si ou elevadas a potências.
Vamos reescrever a nossa equação:
Podemos rearranjar para:
Observamos que temos o termo $ y \cdot y^{\prime} $, que é o produto da função $ y $ com sua derivada $ y^{\prime} $. Esse produto torna a equação não linear, porque numa equação linear, $ y $ e suas derivadas não devem interagir multiplicativamente.
Resposta
A equação $ y \cdot y^{\prime} + t = 0 $ é de primeira ordem e não linear.