Discuta a seguinte demonstração: dada a integral integral 1x d x, seja d v=d x e u=1x, de modo que v=x e d u=-1x^2 d x. Então
integral 1x d x=1x cdot x-integral x cdot(-1x^2) d x Rightarrow integral 1x d x=1+integral 1x d x Rightarrow 0=1

Passo 1

A integral em questão é uma integral indefinida, ou seja, ao obtermos uma antiderivada de 1/x precisamos incluir uma constante arbitrária de integração C.

Passo 2

A técnica usada foi integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u v - integral v,du + C
Escolhendo u = 1/x e dv = dx temos
v = x, du = -1x^2,dx

Passo 3

Ao aplicar a fórmula sem anotar +C obtemos
integral 1x,dx = 1xcdot x - integral x l(-1x^2r)dx = 1 + integral 1x,dx
Subtraindo integral 1xdx em ambos os lados dá a aparente contradição 0 = 1.

Passo 4

O erro está em não considerar o +C. Se incluirmos +C logo após aplicar a fórmula, teremos
integral 1x,dx = 1 + integral 1x,dx + C
que leva a
0 = 1 + C
ou seja C = -1, não a falácia 0=1.

Resposta

A demonstração falha por ter omitido a constante de integração em uma integral indefinida; ao incluí-la corretamente, a contradição desaparece.

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