Discuta a seguinte demonstração: dada a integral
, seja
e
, de modo que
e
. Então
Passo 1
A integral em questão é uma integral indefinida, ou seja, ao obtermos uma antiderivada de
precisamos incluir uma constante arbitrária de integração
.
Passo 2
A técnica usada foi integração por partes, cuja fórmula é
Escolhendo
e
temos
Passo 3
Ao aplicar a fórmula sem anotar
obtemos
Subtraindo
em ambos os lados dá a aparente contradição
.
Passo 4
O erro está em não considerar o
. Se incluirmos
logo após aplicar a fórmula, teremos
que leva a
ou seja
, não a falácia
.
Resposta
A demonstração falha por ter omitido a constante de integração em uma integral indefinida; ao incluí-la corretamente, a contradição desaparece.