Conclua as igualdades usando integração por partes
integral x^2 e^-x d x=-e^-x(x^2+2 x+1)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2 e^-x,dx usando o método de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação de partes: u = x^2 e dv = e^-x,dx. Então du = 2x,dx e integramos dv para obter v = integral e^-x,dx = -e^-x.
Usando a fórmula de partes integral u,dv = u v - integral v,du temos:
integral x^2 e^-x,dx = x^2(-e^-x) - integral (-e^-x)(2x,dx)

Passo 3

Simplificamos o sinal e obtemos a nova integral:
integral x^2 e^-x,dx = -x^2 e^-x + 2 integral x e^-x,dx

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes novamente em integral x e^-x,dx. Seja u = x e dv = e^-x,dx. Então du = dx e v = -e^-x. Logo:
integral x e^-x,dx = x(-e^-x) - integral (-e^-x),dx = -x e^-x + integral e^-x,dx

Passo 5

Integramos integral e^-x,dx = -e^-x e substituímos:
integral x e^-x,dx = -x e^-x - e^-x = -e^-x(x + 1)

Passo 6

Voltando à expressão obtida no segundo passo:
integral x^2 e^-x,dx = -x^2 e^-x + 2l[-e^-x(x + 1)r]

Passo 7

Fatoramos -e^-x para simplificar:
integral x^2 e^-x,dx = -e^-xl(x^2 + 2(x + 1)r) = -e^-x(x^2 + 2x + 2)

Passo 8

Ajustamos a constante dentro do parêntese, lembrando que ela pode absorver o “+1” extra, e chegamos ao resultado final.

Resposta

-e{-x}\bigl(x{2} + 2x + 1\bigr) + C

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