Conclua as igualdades usando integração por partes
integral z^3 e^z d z=e^z(z^3-3 z^2+6 z-6)+C

Passo 1

O enunciado pede calcular integral z^3 e^z ,dz usando a técnica de integração por partes. A parte teórica que vamos usar é a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Primeira integração por partes: escolha u = z^3 e dv = e^z ,dz. Então du = 3z^2 ,dz e v = e^z. Logo, temos: integral z^3 e^z ,dz = z^3 e^z - integral 3z^2 e^z ,dz = z^3 e^z - 3integral z^2 e^z ,dz

Passo 3

Segunda aplicação: agora em integral z^2 e^z ,dz, faça u = z^2 e dv = e^z ,dz. Aí du = 2z ,dz e v = e^z. Assim, integral z^2 e^z ,dz = z^2 e^z - integral 2z e^z ,dz = z^2 e^z - 2integral z e^z ,dz Substituindo no passo anterior: integral z^3 e^z ,dz = z^3 e^z - 3z^2 e^z + 6integral z e^z ,dz

Passo 4

Terceira aplicação: para integral z e^z ,dz, escolha u = z e dv = e^z ,dz. Então du = dz e v = e^z. Logo, integral z e^z ,dz = z e^z - integral e^z ,dz = z e^z - e^z Multiplicando por 6: 6integral z e^z ,dz = 6z e^z - 6e^z

Passo 5

Agora é só somar tudo: integral z^3 e^z ,dz = z^3 e^z - 3z^2 e^z + 6z e^z - 6e^z + C = e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

Resposta

e{z}\bigl(z{3} - 3z^{2} + 6z - 6\bigr) + C

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