Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral e^arcsin x d x=12 e^arcsin x(x+raiz1-x^2)+C

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral e^arcsin x,dx. Vamos usar substituição trigonométrica para simplificar o arco seno e depois integração por partes para resolver a integral que aparecer.

Passo 2

Definimos a substituição t = arcsin x. Assim temos
x = sin t, dx = cos t,dt, raiz1 - x^2 = cos t

Passo 3

Com isso a integral original vira
integral e^arcsin x,dx = integral e^tcos t,dt

Passo 4

Chamemos I = integral e^tcos t,dt. Vamos aplicar integração por partes em I: escolhemos u = e^t e dv = cos t,dt. Então
du = e^t,dt, v = sin t,
e pela fórmula integral u,dv = u v - integral v,du temos
I = e^tsin t - integral e^tsin t,dt

Passo 5

Para a integral integral e^tsin t,dt aplicamos partes de novo: agora u = e^t, dv = sin t,dt, de modo que
du = e^t,dt, v = -cos t,
e obtemos
integral e^tsin t,dt = -e^tcos t + integral e^tcos t,dt = -e^tcos t + I

Passo 6

Substituindo esse resultado em I temos
I = e^tsin t - l(-e^tcos t + Ir) = e^tsin t + e^tcos t - I

Passo 7

Isolando I vem
2I = e^tl(sin t + cos tr) Longrightarrow I = tfrac12,e^tl(sin t + cos tr) + C

Passo 8

Por fim, voltamos à variável x usando t = arcsin x, sin t = x e cos t = raiz1 - x^2. Assim
integral e^arcsin x,dx = tfrac12,e^arcsin xl(x + raiz1 - x^2r) + C

Resposta

integral e^arcsin x,dx = tfrac12,e^arcsin xl(x + raiz1 - x^2r) + C

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