Conclua as igualdades usando integração por partes
integral e^y sin y d y=12 e^y(sin y-cos y)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral e^ysin y,dy usando a técnica de integração por partes. Vamos trabalhar com a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
onde escolhemos u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Seja I = integral e^ysin y,dy. Aplicamos a primeira integração por partes escolhendo
u = sin y, dv = e^y,dy
Logo,
du = cos y,dy, v = e^y
Substituindo na fórmula, obtemos
I = e^ysin y - integral e^ycos y,dy

Passo 3

Agora precisamos calcular integral e^ycos y,dy. Chamemos essa integral de J:
J = integral e^ycos y,dy
Fazemos outra integração por partes com
u = cos y, dv = e^y,dy
Então
du = -sin y,dy, v = e^y
e
J = e^ycos y - integral e^y(-sin y),dy = e^ycos y + integral e^ysin y,dy

Passo 4

Reescrevendo em termos de I, temos
I = e^ysin y - J = e^ysin y - l(e^ycos y + Ir) = e^ysin y - e^ycos y - I
Isolando I no lado esquerdo,
2I = e^yl(sin y - cos yr)

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 2 e incluindo a constante de integração, chegamos ao resultado final:
I = 12e^yl(sin y - cos yr) + C

Resposta

integral e^ysin y,dy = tfrac12e^y(sin y - cos y) + C

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