Conclua que no interior da solução periódica, o divergente , definido como
ou é zero em todo os pontos ou muda de sinal, ou seja, possui pontos em que é positivo e outros em que é negativo. (Teorema de Bendixson)
(Dica: Lembre que se é continua, em que é um aberto limitado com fronteira de conteúdo nulo, , para todo , e , então é identicamente nula).
Passo 1
O enunciado trata de um sistema autônomo no plano
e de uma solução periódica que encerra uma região . Queremos mostrar que o divergente
ou é identicamente zero em ou então muda de sinal em . Vamos usar duas ideias principais: a fórmula da taxa de variação da área interna à órbita periódica (via Teorema de Green) e o lema dado sobre função contínua não negativa com integral zero ser identicamente nula.
Passo 2
Seja a área da região encorajada pela trajetória a partir de um ponto em no instante . Pelo Teorema de Green, a derivada dessa área satisfaz
Passo 3
Como é periódica de período , a região interna retorna ao mesmo formato após tempo , logo . Integrando de a obtemos
Mas para todo , pois a órbita apenas percorre a fronteira de . Dessa forma
Passo 4
Agora aplicamos o lema: suponha que seja contínuo em e que nablacdot f(x,y)>=0 para todo (x,y)in D. Como integral duplaDnablacdot f=0, o lema garante que
nablacdot f(x,y)equiv0 em D
Analogamente, se nablacdot f(x,y)<=0 em D e não muda de sinal, também segue que nablacdot fequiv0 em D.
Passo 5
Concluímos que, dentro de D, ou nablacdot f não muda de sinal e então é forçosamente identicamente zero, ou então não é de sinal constante, i.e., possui pontos onde nablacdot f>0 e pontos onde nablacdot f<0. É justamente o enunciado do Teorema de Bendixson.
Resposta
No interior da órbita periódica, nablacdot f ou é identicamente zero ou muda de sinal.