Conclua que no interior da solução periódica, o divergente nabla f: R^2 R, definido como
nabla cdot f(x, y):=partial f1partial x(x, y)+partial f2partial y(x, y)
ou é zero em todo os pontos ou muda de sinal, ou seja, possui pontos em que é positivo e outros em que é negativo. (Teorema de Bendixson)
(Dica: Lembre que se g: barU R é continua, em que U subset R^2 é um aberto limitado com fronteira de conteúdo nulo, g(x, y) >= 0, para todo (x, y) in U, e integral duplaU g(x, y) d x d y=0, então g é identicamente nula).

Passo 1

O enunciado trata de um sistema autônomo no plano
dot x = f1(x,y), dot y = f2(x,y),
e de uma solução periódica gamma que encerra uma região DsubsetR^2. Queremos mostrar que o divergente
nablacdot f(x,y)=partialx f1(x,y)+partialy f2(x,y)
ou é identicamente zero em D ou então muda de sinal em D. Vamos usar duas ideias principais: a fórmula da taxa de variação da área interna à órbita periódica (via Teorema de Green) e o lema dado sobre função contínua não negativa com integral zero ser identicamente nula.

Passo 2

Seja A(t) a área da região D(t) encorajada pela trajetória a partir de um ponto em gamma no instante t. Pelo Teorema de Green, a derivada dessa área satisfaz
A'(t) =ointpartial D(t) vcdot n,ds =integral duplaD(t)l(partialx f1+partialy f2r),dA =integral duplaD(t)nablacdot f(x,y),dA

Passo 3

Como gamma é periódica de período T, a região interna retorna ao mesmo formato após tempo T, logo A(T)=A(0). Integrando A'(t) de 0 a T obtemos
integral0^TA'(t),dt = A(T)-A(0) =0 Longrightarrow integral0^T!!!integral duplaD(t)nablacdot f,dA,dt=0
Mas D(t)=D para todo t, pois a órbita apenas percorre a fronteira de D. Dessa forma
T;integral duplaDnablacdot f(x,y),dA=0 Longrightarrow integral duplaDnablacdot f(x,y),dA=0

Passo 4

Agora aplicamos o lema: suponha que nablacdot f seja contínuo em D e que nablacdot f(x,y)>=0 para todo (x,y)in D. Como integral duplaDnablacdot f=0, o lema garante que
nablacdot f(x,y)equiv0 em D
Analogamente, se nablacdot f(x,y)<=0 em D e não muda de sinal, também segue que nablacdot fequiv0 em D.

Passo 5

Concluímos que, dentro de D, ou nablacdot f não muda de sinal e então é forçosamente identicamente zero, ou então não é de sinal constante, i.e., possui pontos onde nablacdot f>0 e pontos onde nablacdot f<0. É justamente o enunciado do Teorema de Bendixson.

Resposta

No interior da órbita periódica, nablacdot f ou é identicamente zero ou muda de sinal.

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