Seja f: R^2 R^2 uma função tal que nabla cdot f(x, y): R^2 R nunca se anula. Existem soluções periódicas da EDO definida por essa função?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema autónomo no plano
dot x = f1(x,y), dot y = f2(x,y),
cuja divergência
nablacdot f(x,y)=partial f1partial x(x,y)+partial f2partial y(x,y)
é uma função contínua em R^2 que “nunca se anula” (isto é, nunca vale zero). O conteúdo que vamos usar é o Critério de Bendixson–Dulac para exclusão de órbitas periódicas em sistemas planos.

Passo 2

Como nablacdot f:R^2toR é contínua e nunca se anula, pelo Teorema de Bolzano (teorema do valor intermédio) ela não muda de sinal em R^2. Logo ou
nablacdot f(x,y)>0forall(x,y)inR^2
ou
nablacdot f(x,y)<0forall(x,y)inR^2

Passo 3

O Critério de Bendixson–Dulac afirma que, num domínio simplesmente conectado do plano, se a divergência de um campo vetor f mantém sinal estrito (sempre positiva ou sempre negativa), então o sistema
dot X = f(X)
não pode ter curvas periódicas não-constantes nesse domínio.

Passo 4

Como R^2 é simplesmente conectado e nablacdot f tem sinal constante e estrito em todo R^2, concluímos que não existem soluções periódicas (órbitas fechadas) para esse sistema.

Resposta

Não existem soluções periódicas da EDO definida por f.

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