Seja
uma função tal que
nunca se anula. Existem soluções periódicas da EDO definida por essa função?
Passo 1
O enunciado trata de um sistema autónomo no plano
cuja divergência
é uma função contínua em
que “nunca se anula” (isto é, nunca vale zero). O conteúdo que vamos usar é o Critério de Bendixson–Dulac para exclusão de órbitas periódicas em sistemas planos.
Passo 2
Como
é contínua e nunca se anula, pelo Teorema de Bolzano (teorema do valor intermédio) ela não muda de sinal em
. Logo ou
ou
Passo 3
O Critério de Bendixson–Dulac afirma que, num domínio simplesmente conectado do plano, se a divergência de um campo vetor
mantém sinal estrito (sempre positiva ou sempre negativa), então o sistema
não pode ter curvas periódicas não-constantes nesse domínio.
Passo 4
Como
é simplesmente conectado e
tem sinal constante e estrito em todo
, concluímos que não existem soluções periódicas (órbitas fechadas) para esse sistema.
Resposta
Não existem soluções periódicas da EDO definida por
.