Problema 90 Resolva a seguinte equação exponencial (x^2-x+1)^(2 x^2-3 x-2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
l(x^2-x+1r)^(2x^2-3x-2)=1
O conteúdo aqui é reconhecer que, para uma base positiva aneq0, a equação a^b=1 acontece se (i) a=1 (qualquer expoente) ou (ii) b=0 (qualquer base positiva). Vamos usar esses dois casos para achar todas as soluções.

Passo 2

Caso a=1.
Isso significa
x^2-x+1=1
que reduz a
x^2-x=0 Longrightarrow x,(x-1)=0
Logo deste caso vêm
x=0 ou x=1

Passo 3

Caso b=0.
Aqui
2x^2-3x-2=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x=3pmraiz9+164 =3pm54,
resultando em
x=2 ou x=-tfrac12

Passo 4

Não há outros casos, pois x^2-x+1>0 para todo xinR e nunca vale -1. Assim, não surgem soluções adicionais por potências especiais.

Passo 5

União de todas as raízes obtidas nos dois casos:
xin0,,1,,2,,-tfrac12

Resposta

As soluções da equação são
x=-tfrac12, x=0, x=1, x=2

Exercícios relacionados