(Concurso - - IF-RO.2022) (Valor: 1,0 pt.) Um ponto material oscila em movimento harmônico simples com periodo " T "igual a 5,0(s) e amplitude A igual a 10(\mathrm{~cm}). No instante inicial t_{0}=0, ele se encontra na posição x=-A. Com base no exposto, determine os instantes de tempo " t "em que a aceleração desse ponto material é máxima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Período: T=5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Amplitude: A=10\\ \mathrm{cm}.
  • Instante inicial: t_{0}=0, e a posição inicial é x(0)=-A.
  • Pergunta: determinar os instantes de tempo t em que a aceleração do ponto material é máxima.

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral do movimento harmônico simples (MHS) para a posição em função do tempo. A solução mais usada é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento),
  • \omega é a pulsação (frequência angular) em \mathrm{rad/s},
  • \varphi é a fase inicial (ângulo de deslocamento no instante t=0).
Explicando por cima: a função \cos varia entre -1 e 1, então x(t) varia entre -A e A. A fase \varphi ajusta onde a partícula começa no ciclo.

Passo 3

A relação entre período T e pulsação \omega é padrão:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=5{,}0\\ \mathrm{s} temos
\omega=\frac{2\pi}{5{,}0}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Usamos a condição inicial para determinar a fase \varphi. Em t=0 sabemos que x(0)=-A. Pela forma x(0)=A\cos(\varphi), então
A\cos(\varphi)=-A.
Dividindo por A (não nulo) obtemos
\cos(\varphi)=-1.
As soluções para \cos(\varphi)=-1 são \varphi=\pi+2\pi k, com k\in\mathbb{Z}. Podemos escolher a menor solução \varphi=\pi.

Passo 5

Logo a posição fica
x(t)=A\cos(\omega t+\pi).
Usando a identidade \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta obtemos uma forma mais simples:
x(t)=-A\cos(\omega t).
Essa expressão está consistente com x(0)=-A.

Passo 6

Agora a aceleração no MHS está relacionada à posição por uma fórmula básica que vale para MHS:
a(t)=-\omega^{2}x(t).
Explicando essa fórmula: a equação do MHS é \ddot{x} + \omega^2 x=0. A segunda derivada da posição é a aceleração \ddot{x}=a. Rearranjando dá a=-\omega^2 x. Na prática isso significa que a aceleração é proporcional à posição e sempre aponta para o centro (sinal oposto de x).

Passo 7

Substituindo x(t)=-A\cos(\omega t) em a(t)=-\omega^2 x(t) obtemos
a(t)=-\omega^{2}\bigl(-A\cos(\omega t)\bigr)=\omega^{2}A\cos(\omega t).
Portanto a(t) é uma função cosenoidal com amplitude máxima (valor absoluto máximo)
\lvert a\rvert_{\max}=\omega^{2}A.
O sinal positivo corresponde ao máximo positivo da aceleração, e o sinal negativo ao mínimo (máxima aceleração negativa).

Passo 8

Para que a aceleração seja máxima positiva precisamos que \cos(\omega t)=1. As soluções dessa equação são
\omega t = 2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Logo
t=\frac{2\pi n}{\omega}.

Passo 9

Usando \omega=\dfrac{2\pi}{T} (Passo 3) simplificamos:
t=\frac{2\pi n}{\frac{2\pi}{T}}=nT.
Assim os instantes em que a aceleração atinge o valor máximo positivo são múltiplos inteiros do período. Como T=5{,}0\\ \mathrm{s}, numericamente esses instantes são
t=0,\\\ 5{,}0\\ \mathrm{s},\\\ 10{,}0\\ \mathrm{s},\\\ 15{,}0\\ \mathrm{s},\dots

Passo 10

Observação útil para a prova (para não se confundir): a aceleração atinge a magnitude máxima (valor absoluto máximo) também nos instantes onde \cos(\omega t)=\pm 1. O caso \cos(\omega t)=-1 dá a aceleração máxima negativa, que ocorre em
t=\left(n+\tfrac{1}{2}\right)T,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Mas a pergunta pediu a aceleração máxima (interpretei como máxima positiva), então usamos t=nT.

Resposta

t=nT=n\cdot 5{,}0\\ \mathrm{s},\quad n=0,1,2,\dots

Exercícios relacionados