(Concurso - - IF-RO.2022) (Valor: 1,0 pt.) Um ponto material oscila em movimento harmônico simples com periodo "
"igual a
e amplitude
igual a
. No instante inicial
, ele se encontra na posição
. Com base no exposto, determine os instantes de tempo "
"em que a aceleração desse ponto material é máxima.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Período:
. - Amplitude:
. - Instante inicial:
, e a posição inicial é . - Pergunta: determinar os instantes de tempo
em que a aceleração do ponto material é máxima.
Passo 2
Vamos lembrar a forma geral do movimento harmônico simples (MHS) para a posição em função do tempo. A solução mais usada é
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento), -
é a pulsação (frequência angular) em , -
é a fase inicial (ângulo de deslocamento no instante ).
Explicando por cima: a função
varia entre
e
, então
varia entre
e
. A fase
ajusta onde a partícula começa no ciclo.
Passo 3
A relação entre período
e pulsação
é padrão:
Substituindo
temos
Passo 4
Usamos a condição inicial para determinar a fase
. Em
sabemos que
. Pela forma
, então
Dividindo por
(não nulo) obtemos
As soluções para
são
, com
. Podemos escolher a menor solução
.
Passo 5
Logo a posição fica
Usando a identidade
obtemos uma forma mais simples:
Essa expressão está consistente com
.
Passo 6
Agora a aceleração no MHS está relacionada à posição por uma fórmula básica que vale para MHS:
Explicando essa fórmula: a equação do MHS é
. A segunda derivada da posição é a aceleração
. Rearranjando dá
. Na prática isso significa que a aceleração é proporcional à posição e sempre aponta para o centro (sinal oposto de
).
Passo 7
Substituindo
em
obtemos
Portanto
é uma função cosenoidal com amplitude máxima (valor absoluto máximo)
O sinal positivo corresponde ao máximo positivo da aceleração, e o sinal negativo ao mínimo (máxima aceleração negativa).
Passo 8
Para que a aceleração seja máxima positiva precisamos que
. As soluções dessa equação são
Logo
Passo 9
Usando
(Passo 3) simplificamos:
Assim os instantes em que a aceleração atinge o valor máximo positivo são múltiplos inteiros do período. Como
, numericamente esses instantes são
Passo 10
Observação útil para a prova (para não se confundir): a aceleração atinge a magnitude máxima (valor absoluto máximo) também nos instantes onde
. O caso
dá a aceleração máxima negativa, que ocorre em
Mas a pergunta pediu a aceleração máxima (interpretei como máxima positiva), então usamos
.