. Um projétil é disparado para o leste de um ponto na superfície da Terra a uma latitude norte
, com velocidade
e ângulo de inclinação com a horizontal local
. Mostre que o deslocamento lateral quando o projétil atinge a Terra é
onde
é a velocidade de rotação da Terra. Se o alcance do projétil for
para o caso
, mostre que a mudança por causa da rotação da Terra é
Passo 1
O enunciado dá um projétil lançado para o leste a partir da superfície da Terra numa latitude norte
, com velocidade inicial
e ângulo de elevação
medido a partir da horizontal local. A Terra gira com velocidade angular
e a gravidade tem intensidade
.
Perguntas pedidas:
- Mostrar que o deslocamento lateral (no eixo norte-sul) quando o projétil atinge a Terra é
- Se o alcance para
é , mostrar que a variação do alcance causada pela rotação da Terra é
Informações relevantes que vamos precisar (sem resolver ainda):
- Escolho sistema de coordenadas local:
para leste, para norte, para cima. - Velocidade inicial do projétil em componentes:
. - O termo de “força de Coriolis” em referencial estacionário na Terra é
; precisaremos decompor no sistema local. - Vamos trabalhar por aproximação de primeira ordem em
(isto é, pequeno): tratamos efeitos de rotação como pequenas perturbações à trajetória não-rotante.
Passo 2
Expressar
no sistema local e calcular
.
Explicação rápida do que é
no sistema local: o vetor de rotação da Terra aponta para o polo norte. No local com latitude
, sua decomposição nas direções
(norte) e
(para cima) é
Isto é verificado nos casos extremos:
(equador) dá
,
(polo norte) dá
.
Agora fazemos o produto vetorial necessário. Seja a velocidade genérica
(no nosso lançamento inicial
). Calculamos
A força (aceleração) de Coriolis é
, logo seus componentes são
Comentário didático: o termo
envolve
(movimento leste) e produz desvio norte-sul;
envolve
e altera a velocidade leste;
altera a aceleração vertical efetiva. Vamos usar essas três componentes, sempre mantendo apenas termos de ordem
.
Passo 3
Trajetória de referência para
(base sobre a qual perturbamos).
Sem rotação:
-
(constante), -
, -
.
Tempo de voo (retorno ao solo) é obtido resolvendo
com
:
Alcance (para
) é
Essas fórmulas são clássicas de movimento uniformemente acelerado na vertical e movimento uniforme horizontal; vamos usá-las como zeroth-order ao calcular efeitos proporcionais a
.
Passo 4
Calcular o deslocamento lateral
(eixo norte-sul) causado pela componente
.
Usamos a aproximação de primeira ordem: substituir em
o valor zeroth-order
. Assim
que é constante no tempo (na aproximação). Partindo de
, integramos:
Avaliaremos em
:
Substituindo
(do Passo 3) temos
O deslocamento lateral em módulo (valor absoluto) é
como pedido. Observação física: sinal negativo significa que, no hemisfério norte (
), o projétil desviará para o sul (à direita de quem mira para leste).
Passo 5
Calcular a contribuição à variação do alcance vinda da componente
(alteração direta da velocidade leste).
Da expressão do Passo 2 temos
. Usamos a velocidade vertical zeroth-order
. Então
Integrando para obter a mudança na velocidade leste
(com
):
Integrando novamente para obter a contribuição ao deslocamento leste
(com
):
Avaliar em
. Substituindo
, calculemos os termos separadamente:
-
. -
.
Portanto
Passo 6
Calcular a contribuição à variação do alcance vinda da componente vertical
(que altera o tempo de voo).
De Passo 2:
. Na aproximação zeroth-order
, então
, que é aproximadamente constante. Assim a aceleração vertical total é
Resolvendo
com condição inicial
, o novo tempo de voo
é
Expandindo até primeira ordem em
(usando
para
pequeno),
onde
e
A contribuição ao alcance (assumindo
) é
Passo 7
Somar as duas contribuições e simplificar para obter
na forma pedida.
A variação total do alcance é a soma da contribuição de
e da mudança do tempo de voo:
Agora expressamos tudo em termos de
. Lembremos que (do Passo 3)
Logo
Substituindo
na expressão de
,
Agora usamos
, então
. Dividindo termo a termo:
Portanto
O fator numérico simplifica:
Assim obtemos
que é exatamente a fórmula pedida.