(Concurso - - IF-CE.2021) (Valor: \mathbf{1 , 0} pt.) Considere um pêndulo composto de uma haste homogênea de massa " m "e comprimento " L ", com uma de suas extremidades fixa a um ponto fixo " P ", em torno do qual pode girar livremente. Fixa-se à outra extremidade da haste uma esfera de raio desprezivel, cuja massa vale 1(\mathrm{~kg}). Considere a aceleração local da gravidade igual a \vec{g}. Qual o periodo de oscilaçāo do pêndulo composto descrito?

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo composto formado por uma haste homogênea de massa m e comprimento L com uma de suas extremidades presa no ponto fixo P (pivô). Na outra extremidade da haste está presa uma esfera de raio desprezível e massa 1\\ \text{kg}. A aceleração da gravidade local é \vec{g}.
O que se pede: determinar o período de pequenas oscilações do pêndulo composto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Massa da haste: m.
  • Comprimento da haste: L.
  • Massa da esfera pontual na extremidade: 1 (unidade kg).
  • Pivô fixo em uma extremidade da haste.
  • Aceleração da gravidade: g.
  • Raio da esfera desprezível (ou seja, trata-se de uma massa pontual a uma distância L do pivô).
  • Queremos o período para pequenas oscilações (aproximação de ângulo pequeno).

Passo 2

Definimos grandezas que usaremos:
  • Massa total do sistema: M = m + 1.
  • Distância do centro de massa do sistema até o pivô: d.
    Para achar d usamos a fórmula do centro de massa em uma dimensão (uma média ponderada das posições):
d = \frac{\text{soma das massas × posições}}{\text{soma das massas}}.çõ
A haste homogênea tem seu centro de massa a L/2 do pivô; a esfera pontual está a L do pivô. Portanto,
d = \frac{m\cdot\frac{L}{2} + 1\cdot L}{m+1}.
Agora calculamos explicitamente d:
d = \frac{\frac{mL}{2} + L}{m+1} = \frac{L\left(\frac{m}{2}+1\right)}{m+1} = L\cdot\frac{m+2}{2(m+1)}.

Passo 3

Precisamos do momento de inércia do sistema em relação ao pivô P. O momento de inércia total é a soma do momento de inércia da haste em relação ao pivô e do momento de inércia da massa pontual:
I = I_{\text{haste}} + I_{\text{esfera}}.
Para uma haste homogênea de massa m e comprimento L girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia conhecido (que podemos obter por integração) é
I_{\text{haste}} = \frac{1}{3}mL^2.
(Resumo da derivação rápida: I=\int x^2\,dm, com dm=(m/L)\,dx, integrate x^2 de 0 a L \tfrac{m}{L}\cdot \tfrac{L^3}{3}=\tfrac{1}{3}mL^2.)
A massa pontual de massa 1 a distância L tem momento de inércia
I_{\text{esfera}} = 1\cdot L^2 = L^2.
Logo o momento de inércia total é
I = \frac{1}{3}mL^2 + L^2 = L^2\left(\frac{m}{3}+1\right).

Passo 4

Equação do movimento para pequenas oscilações (modelo do pêndulo físico): o torque restaurador em torno do pivô, para um pequeno ângulo \theta, é
\tau = - M g d \sin\theta \approx - M g d \,\theta,
onde usamos a aproximação de ângulo pequeno \sin\theta\approx\theta. A segunda lei para rotação diz
I\,\ddot{\theta} = \tau.
Substituindo o torque aproximado,
I\,\ddot{\theta} + M g d\,\theta = 0.
Isto é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
\omega^2 = \frac{M g d}{I}.
O período T é dado por
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{M g d}}.
Explicando as variáveis:
  • I é o momento de inércia total do corpo em relação ao pivô (calculado no passo 3).
  • M é a massa total do sistema m+1.
  • d é a distância do pivô ao centro de massa (calculado no passo 2).
  • g é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Agora substituímos I, M e d na fórmula de T.
Temos
I = L^2\left(\frac{m}{3}+1\right), \qquad M = m+1, \qquad d = L\cdot\frac{m+2}{2(m+1)}.
Substituindo em
T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{M g d}}
obtemos
T = 2\pi\sqrt{ \frac{L^2\left(\frac{m}{3}+1\right)}{(m+1)g\; L\cdot\frac{m+2}{2(m+1)}} }.
Note que o fator (m+1) cancela. Simplificando passo a passo:
T = 2\pi\sqrt{ \frac{L\left(\frac{m}{3}+1\right)}{g\cdot\frac{m+2}{2}} }.
Expressando \frac{m}{3}+1 como \frac{m+3}{3} e simplificando frações:
T = 2\pi\sqrt{ \frac{L}{g}\cdot\frac{m+3}{3}\cdot\frac{2}{m+2} }.
T = 2\pi\sqrt{ \frac{2L}{3g}\cdot\frac{m+3}{m+2} }.

Passo 6

Comentário e checagens rápidas (úteis para prova):
  • Caso m\to 0 (haste sem massa, só a massa pontual no fim), a expressão dá
T = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}\cdot\frac{3}{2}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
que é o período do pêndulo de massa pontual a distância L. Está consistente.
  • Caso m muito grande (haste domina), a expressão tende a
T \to 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}},
que é o período do bastão homogêneo oscilando em torno de uma extremidade, também consistente.
Força um ânimo: você já viu todas as peças — centro de massa, momento de inércia e equação de pequena oscilação — e a substituição algébrica dá o resultado final.

Resposta

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}\cdot\dfrac{m+3}{m+2}}

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