A posição em função do tempo de um carro que se move em uma estrada horizontal, bem como sua velocidade e aceleração, são representadas pelas equaçöes a seg:
\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\left[50 \mathrm{~m}+(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t+\frac{1}{2}\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2}\right] \hat{\mathrm{i}}-\left[\frac{1}{\mathrm{~b}}\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{3}\right] \hat{\mathrm{j}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\left[(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s})+\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t\right] \hat{\mathrm{i}}-\left[\frac{1}{2}\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{2}\right] \hat{\mathrm{j}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\left[\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\right] \hat{\mathbf{i}}-\left[\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t\right] \hat{\mathrm{j}} \end{aligned}
Calcule:
o vetor aceleraçâo instantânea do carro em \mathrm{t}=10 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor aceleração instantânea do carro em \mathrm{t}=10\\ \mathrm{s}. As informações relevantes dadas (retiradas do enunciado) são:
\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\left[\left(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\right)\right]\hat{\mathrm{i}}-\left[\left(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)t\right]\hat{\mathrm{j}}
Ou seja:
  • a componente x da aceleração é \;2,0\\ \mathrm{m/s^{2}} (constante);
  • a componente y da aceleração é -\left(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)t (varia linearmente com t);
  • devemos avaliar esse vetor em \;t=10\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): a aceleração instantânea \overrightarrow{\mathbf{a}}(t) é a taxa de variação da velocidade com o tempo. Em notação,
\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\frac{d\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)}{dt}.
Cada componente da aceleração é a derivada da componente correspondente da velocidade. No nosso caso o enunciado já forneceu \overrightarrow{\mathbf{a}}(t), então não precisamos derivar, mas é bom verificar consistência derivando a componente y de \overrightarrow{\mathbf{v}}(t):
A componente y da velocidade dada é
v_y(t)=-\frac{1}{2}\left(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)t^{2}.
Derivando em relação a t:
\frac{dv_y}{dt}=-\frac{1}{2}\left(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)\cdot 2t = -\left(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)t,
que coincide com a componente y de \overrightarrow{\mathbf{a}}(t) dada. Tudo consistente.

Passo 3

Agora vamos avaliar cada componente em \;t=10\\ \mathrm{s}.
Componente x:
a_x(10\\ \mathrm{s}) = 2,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Componente y:
a_y(10\\ \mathrm{s}) = -\left(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)\cdot 10\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Fazendo a multiplicação na componente y (mostrando o cálculo passo a passo):
0,10 \times 10 = 1,0.
Portanto
a_y(10\\ \mathrm{s}) = -1,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Montando o vetor aceleração em \;t=10\\ \mathrm{s}: as componentes são a_x=2,0\\ \mathrm{m/s^{2}} (para a direita) e a_y=-1,0\\ \mathrm{m/s^{2}} (para baixo, já que é negativa). Assim o vetor é uma combinação linear das bases unitárias \hat{\mathrm{i}} e \hat{\mathrm{j}}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{\mathbf{a}}(10\\ \mathrm{s})=2,0\,\hat{\mathrm{i}}-1,0\,\hat{\mathrm{j}}\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}

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