A posição em função do tempo de um carro que se move em uma estrada horizontal, bem como sua velocidade e aceleração, são representadas pelas equaçöes a seg:
\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\left[50 \mathrm{~m}+(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t+\frac{1}{2}\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2}\right] \hat{\mathrm{i}}-\left[\frac{1}{\mathrm{~b}}\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{3}\right] \hat{\mathrm{j}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\left[(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s})+\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t\right] \hat{\mathrm{i}}-\left[\frac{1}{2}\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{2}\right] \hat{\mathrm{j}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\left[\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\right] \hat{\mathbf{i}}-\left[\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t\right] \hat{\mathrm{j}} \end{aligned}
Calcule:
o vetor velocidade média do carro entre \mathrm{t}_{1}=2,0 \mathrm{~s} e \mathrm{t}_{2}=5,0 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado dá as expressões de posição, velocidade e aceleração do carro e pede o vetor velocidade média entre \;t_1=2,0\\ \text{s}\; e \;t_2=5,0\\ \text{s}.
Informações relevantes (retirei diretamente do enunciado e interpretei vírgulas como separador decimal; também interpretei o caractere b como um 6 na parte em t^3, pois as demais expressões são consistentes com isso):
\overrightarrow{r}(t)=\big[50\\ \text{m}+(10\\ \text{m/s})\,t+\tfrac{1}{2}(2,0\\ \text{m/s}^2)\,t^2\big]\hat{\imath} -\big[\tfrac{1}{6}(0,10\\ \text{m/s}^3)\,t^3\big]\hat{\jmath}
\overrightarrow{v}(t)=\big[(10\\ \text{m/s})+(2,0\\ \text{m/s}^2)\,t\big]\hat{\imath} -\big[\tfrac{1}{2}(0,10\\ \text{m/s}^3)\,t^2\big]\hat{\jmath}
\overrightarrow{a}(t)=\big[(2,0\\ \text{m/s}^2)\big]\hat{\imath} -\big[(0,10\\ \text{m/s}^3)\,t\big]\hat{\jmath}.
O que é pedido:
Calcular \overrightarrow{v}_{\text{méd}}é entre \;t_1=2,0\\ \text{s}\; e \;t_2=5,0\\ \text{s}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (conceito importante, mastigado):
A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo. Em notação vetorial:
\overrightarrow{v}_{\text{méd}}=\frac{\overrightarrow{r}(t_2)-\overrightarrow{r}(t_1)}{t_2-t_1}.é
Aqui \overrightarrow{r}(t_2)-\overrightarrow{r}(t_1) é o vetor deslocamento (diferença entre posições no instantes dados) e t_2-t_1 é o tempo decorrido. Não confunda com média das velocidades instantâneas; só conta o deslocamento total.

Passo 3

Simplifico as componentes de \overrightarrow{r}(t) para facilitar cálculos:
Para a componente x:
\tfrac{1}{2}(2,0\\ \text{m/s}^2)=1,0\\ \text{m/s}^2,
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r_x(t)=50\\\ +\\\ 10\,t\\\ +\\\ 1\,t^2\quad(\text{em metros}).
Para a componente y:
\tfrac{1}{6}(0,10\\ \text{m/s}^3)=\frac{0,10}{6}\\ \text{m/s}^3=0,016\overline{6}\\ \text{m/s}^3=\tfrac{1}{60}\\ \text{m/s}^3,
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r_y(t)=-\tfrac{1}{60}\,t^3\quad(\text{em metros}).

Passo 4

Avalio \overrightarrow{r}(t) nos instantes pedidos, fazendo conta passo a passo.
Calculo de r_x(5,0):
r_x(5,0)=50+10\cdot5,0+1\cdot(5,0)^2=50+50+25=125\\ \text{m}.
Calculo de r_x(2,0):
r_x(2,0)=50+10\cdot2,0+1\cdot(2,0)^2=50+20+4=74\\ \text{m}.
Calculo de r_y(5,0):
r_y(5,0)=-\tfrac{1}{60}\,(5,0)^3=-\tfrac{125}{60}=-\tfrac{25}{12}\\ \text{m}\approx-2,083\overline{3}\\ \text{m}.
Calculo de r_y(2,0):
r_y(2,0)=-\tfrac{1}{60}\,(2,0)^3=-\tfrac{8}{60}=-\tfrac{2}{15}\\ \text{m}\approx-0,133\overline{3}\\ \text{m}.

Passo 5

Agora obtenho o deslocamento \Delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(5,0)-\overrightarrow{r}(2,0) componente a componente.
Componente x:
\Delta x = 125-74=51\\ \text{m}.
Componente y:
Usando frações exatas:
\Delta y = -\tfrac{25}{12}-\big(-\tfrac{2}{15}\big)=-\tfrac{25}{12}+\tfrac{2}{15}=\frac{-125+8}{60}=-\tfrac{117}{60}=-\tfrac{39}{20}=-1,95\\ \text{m}.
Intervalo de tempo:
\Delta t = t_2-t_1=5,0-2,0=3,0\\ \text{s}.

Passo 6

Divido cada componente do deslocamento por \Delta t para achar a velocidade média.
Componente x da velocidade média:
v_{\text{méd},x}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{51}{3,0}=17\\ \text{m/s}.é
Componente y da velocidade média:
v_{\text{méd},y}=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{-1,95}{3,0}=-0,65\\ \text{m/s}.é
Portanto o vetor velocidade média é
\overrightarrow{v}_{\text{méd}}=17\,\hat{\imath}-0,65\,\hat{\jmath}\quad(\text{m/s}).é

Passo 7

Resumo rápido e dica de prova (motivação amiga): a velocidade média é sempre deslocamento dividido por tempo; se você tiver as fórmulas de posição, calcule a diferença de posição entre os instantes e divida pelo intervalo. Não esquece de manter unidades coerentes (aqui metros e segundos). Boa — isso vale muitos pontos fáceis!

Resposta

\overrightarrow{v}_{\text{méd}}=17\,\hat{\imath}-0,65\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}é

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